Question

1．如图，光滑半圆弧轨道BC与光滑斜面AB在B点平滑连接，圆弧半径为R=0.4m，一半径很小，质量为m=0.2kg的小球从光滑斜面上A点由静止释放，恰好能通过圆弧轨道最高点C，（小球在轨道连接处无机械能损失，不计空气阻力，g=10m/s²）求：
（1）小球最初释放的高度h；
（2）若要使小球离开C点恰好垂直撞击到斜面上，斜面的倾角θ的正切值为多大？

Answer 1

分析 （1）小球恰好能通过圆弧轨道最高点C，说明此时恰好是物体的重力作为向心力，由向心力的公式可以求得在C点的速度大小，从A到C的过程中，物体的机械能守恒，从而可以求得小球释放时离最低点的高度；
（2）小球离开C点后做平抛运动，根据平抛运动的基本公式结合几何关系求解．

解答 解：（1）由物体恰好通过最高点C，则有：mg=m$\frac{{{v_c}^2}}{R}$①
物体从A点运动到C点机械能守恒，所以：mg（h-2R）=$\frac{1}{2}m{v_c}^2$②
联立①②代入数据解得h=1m
（2）设小球落到斜面上的点为D，如图所示，设DB=a，根据平抛运动的规律和几何知识得：
2R-$\frac{1}{2}$gt²=asinθ③
Vct=acosθ④
tanθ=$\frac{v_c}{gt}$⑤
联立①③④⑤解得：tanθ=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
答：（1）小球最初释放的高度h为1m；
（2）若要使小球离开C点恰好垂直撞击到斜面上，斜面的倾角θ的正切值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 小球的运动过程可以分为三部分，第一段是匀加速直线运动，第二段的机械能守恒，第二段圆周运动，第三段是平抛运动，分析清楚各部分的运动特点，采用相应的规律求解即可．