Question

10．如图所示，在第一象限内OQ与x轴夹角为$\frac{π}{6}$，OQ与y轴所夹区域之间存在匀强电场E，电场方向竖直向上，第二、三、四象限及OQ与x轴正向所夹区域均存在垂直纸面向里的匀强磁场B．现有一质量为m、电荷量为q的电子从A（0，h）点垂直y轴以v₀的初速度射入电场，并从C点以垂直OQ的速度进入磁场，经磁场偏转后，从M点再次垂直进入匀强电场．
（1）求电子第一次进入电场和磁场时，E和B分别为多大；
（2）电子第二次进入电场后，若改变E和B的大小，使电子每次都能从y轴正方向上某点垂直进入电场，再垂直OQ方向进入磁场，则粒子从A点开始经多长时间能够运动到O点．

Answer 1

分析 （1）在电场中类平抛和在磁场中匀速圆周运动可求出E和B
（2）依次求出粒子第一次、第二次、第三次、类推出第n次在电磁场中的时间，再用数学知识求解．

解答 解：（1）设粒子在C点的速度为${v}_{c}^{\;}$，则${v}_{c}^{\;}sin30°={v}_{0}^{\;}$有${v}_{c}^{\;}=2{v}_{0}^{\;}$①
在电E中，对粒子有$h-OCsin30°=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$②
$OC••cos30°={v}_{0}^{\;}t$③
粒子的加速度qE=ma④
${v}_{c}^{\;}cos30°=at$⑤
联立以上各式得$E=\frac{5m{v}_{0}^{2}}{2qh}$           $OC=\frac{4}{5}h$
第一次进入磁场后，匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，半径$R=OC=\frac{4}{5}h$
$q{v}_{c}^{\;}B=m\frac{{v}_{c}^{2}}{R}$⑦
得$R=\frac{m{v}_{c}^{\;}}{qB}=\frac{2m{v}_{0}^{\;}}{qB}$⑧
联立以上几式得$B=\frac{5m{v}_{0}^{\;}}{2qh}$
（2）粒子第一次在电磁场中运动的时间为${t}_{1}^{\;}={t}_{E}^{\;}+{t}_{B}^{\;}=\frac{OCcos30°}{{v}_{0}^{\;}}+\frac{300°}{360°}\frac{2πR}{{v}_{c}^{\;}}$=$\frac{\frac{4}{5}hcos30°}{{v}_{0}^{\;}}+\frac{5}{6}×\frac{2π\frac{4}{5}h}{2{v}_{0}^{\;}}$=$（\frac{2\sqrt{3}}{5}+\frac{π}{3}）\frac{h}{{v}_{0}^{\;}}$
由题意知，改变电场、磁场的强弱后，粒子重复前面的运动情况，第二次在磁场中半径$R′=\frac{4}{5}OC=（\frac{4}{5}）_{\;}^{2}h$
粒子第二次在电磁场中运动时间${t}_{2}^{\;}=\frac{R′cos30°}{2{v}_{0}^{\;}}+\frac{300°}{360°}\frac{2πR′}{4{v}_{0}^{\;}}$=$\frac{2}{5}{t}_{1}^{\;}$
同理粒子第三次在磁场中半径$R″=\frac{4}{5}R′=（\frac{4}{5}）_{\;}^{3}h$
粒子第三次在电磁场中运动时间${t}_{3}^{\;}=\frac{R″cos30°}{4{v}_{0}^{\;}}+\frac{300°}{360°}\frac{2πR″}{8{v}_{0}^{\;}}$=
以此类推，粒子第n次在电磁场总时间${t}_{n}^{\;}=（\frac{2}{5}）_{\;}^{n-1}{t}_{1}^{\;}$
所以粒子最终运动到O点的时间为$t=\frac{{t}_{1}^{\;}}{1-\frac{2}{5}}=\frac{5}{3}×（\frac{2\sqrt{3}}{5}+\frac{2π}{3}）×\frac{h}{{v}_{0}^{\;}}$=$（\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{10π}{9}）\frac{h}{{v}_{0}^{\;}}$
答：（1）求电子第一次进入电场和磁场时，E为$\frac{5m{v}_{0}^{2}}{2qh}$为和B为$\frac{5m{v}_{0}^{\;}}{2qh}$
（2）电子第二次进入电场后，若改变E和B的大小，使电子每次都能从y轴正方向上某点垂直进入电场，再垂直OQ方向进入磁场，则粒子从A点开始经时间$（\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{10π}{9}）\frac{h}{{v}_{0}^{\;}}$能够运动到O点

点评 本题考查了带电粒子在电磁场中的运动，突出体现运用数学知识解决物理问题的能力，有一定的难度．