Question

4．“嫦娥三号”于2013年12月2日凌晨在四川省西昌卫星发射中心发射升空，先后经过近月制动、环月圆轨道飞行（轨道高度距月表100km）、变轨控制进入环月椭圆轨道运行等动作，在着陆准备阶段“嫦娥三号”从距月表15km的近月点（着陆制动点）开始在7500N的变推力空间发动机的作用下开始减速，在距月表100m时悬停，借“眼睛”观测着陆区状况，由于月球表面没有空气，所以不能使用降落伞实现“嫦娥三号”的软着陆，而用空间发动机向下喷气实现软着陆又会吹起月球表的尘埃而影响“嫦娥三号”着陆后的工作，为此要在“嫦娥三号”落至距月表4m高时再次使其速度减为零，并关闭所有发动机，使“嫦娥三号”直接落向月表．
     已知月球半径是地球半径的$\frac{3}{11}$，质量是地球质量的$\frac{1}{81}$，地球表面的重力加速度为g=10m/s²，地球的半径R=6.4×10⁶m，“嫦娥三号”的质量m=140kg．求：
（1）“嫦娥三号”在环月圆轨道上运动的速度大小；（保留2位有效数字）
（2）“嫦娥三号”软着陆时到达月表的速度的大小；（保留2位有效数字）
（3）从悬停在100m处至落到月球表面的过程中，空间发动机对“嫦娥三号”所做的功．

Answer 1

分析 （1）在星球表面根据万有引力与重力相等由地球表面重力加速度求得月球表面重力加速度，再根据万有引力提供嫦娥三号圆周运动向心力求得嫦娥三号在轨道上的速度大小；
（2）根据自由落体由月球表面的重力加速度和下落高度求得嫦娥三号到达月球表面的速度大小；
（3）在此过程中只有重力和发动机对嫦娥三号做功，根据动能定理求得发动机所做的功即可．

解答 解：（1）据星球表面重力与万有引力相等有
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得星球表面的重力加速度g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
所以可得月球表面的重力加速度$g′=\frac{G\frac{1}{81}M}{（\frac{3}{11}R）^{2}}=\frac{121}{729}g=1.6m/{s}^{2}$
对于月球的半径R′=$\frac{3}{11}R=\frac{3}{11}×6.4×1{0}^{6}m$=1.75×10⁶m
所以有：$G\frac{mM′}{R{′}^{2}}=mg′$
在环月轨道上有：$G\frac{mM′}{（R′+h）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R′+h}$
可得$v=\sqrt{\frac{GM′}{R′+h}}$=$\sqrt{\frac{g′R{′}^{2}}{R′+h}}$=$\sqrt{\frac{1.6×（1.75×1{0}^{6}）^{2}}{1.75×1{0}^{6}+100×1{0}^{3}}}m/s$=1.6×10³m/s
（2）嫦娥三号软着陆过程中为自由落体运动，据自由落体运动规律可知，到达月球表面的速度
${v}_{1}=\sqrt{2g′h′}=\sqrt{2×1.6×4}m/s$=3.6m/s
（3）从悬停在100m处至落到月球表面的过程中，只有月球重力和发动机对嫦娥三号做功，根据动能定理可得：
mg′H+W=0-0
可得W=-mg′H=-140×1.6×（100-4）J=-21504J
答：（1）“嫦娥三号”在环月圆轨道上运动的速度大小1.6×10³m/s；
（2）“嫦娥三号”软着陆时到达月表的速度的大小为3.6m/s；
（3）从悬停在100m处至落到月球表面的过程中，空间发动机对“嫦娥三号”所做的功为-21504J．

点评 万有引力应用问题主要从万有引力与重力相等和万有引力提供圆周运动向心力两方面入手求解，注意结合运动学规律和机械能守恒．