Question

3．如图所示，水平设置的三条光滑平行金属导轨a、b、c位于同一水平面上，a与b、b与c相距均为d=1m，导轨ac间横跨一质量为m=1kg的金属棒MN，棒与三条导轨垂直，且始终接触良好．棒的电阻r=2Ω，导轨的电阻忽略不计．在导轨bc间接一电阻为R=2Ω的灯泡，导轨ac间接一理想电压表．整个装置放在磁感应强度B=2T的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下．现对棒MN施加一水平向右的拉力F，使棒从静止开始运动．试求：
（1）若施加的水平恒力F=8N，则金属棒达到稳定时速度为多大？
（2）若施加的水平外力功率恒定，且棒达到稳定时的速度为1.5m/s，则水平外力的功率为多大？
（3）若施加的水平外力使棒MN由静止开始做加速度为2m/s²的匀加速直线运动，且经历t=1s时间，灯泡中产生的热量为12J，试求此过程中外力做了多少功？

Answer 1

分析 （1）金属棒稳定时做匀速直线运动．由法拉第电磁感应定律、欧姆定律和安培力公式得到安培力与速度的关系式，然后由平衡条件求出速度．
（2）由平衡条件求出拉力，然后由功率公式求出功率．
（3）由串联电路特点与焦耳定律求出焦耳热，然后由能量守恒定律求出拉力的功．

解答 解：（1）设金属棒稳定时速度为v₁．金属棒受到的安培力：
F_安=BId=$\frac{{B}^{2}{d}^{2}{v}_{1}}{R+\frac{1}{2}r}$
金属棒匀速运动时达到稳定，由平衡条件得：
 F=F_安
联立解得：v₁=$\frac{F（R+\frac{1}{2}r）}{{B}^{2}{d}^{2}}$=$\frac{8×（2+1）}{{2}^{2}×{1}^{2}}$=6m/s；
（2）当金属棒速度稳定时，金属棒受到的安培力：
F_安′=BI′d=$\frac{{B}^{2}{d}^{2}{v}_{2}}{R+\frac{1}{2}r}$
由平衡条件得：F′=$\frac{{B}^{2}{d}^{2}{v}_{2}}{R+\frac{1}{2}r}$
代入数据解得：F′=2N，
则拉力的功率：P=F′v₂=2×1.5W=3W；
（3）设小灯泡和金属棒产生的热量分别为Q₁、Q₂，由焦耳定律得热量之比：
$\frac{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}$=$\frac{R}{\frac{1}{2}r}$=2，
Q_总=Q₁+Q₂
由题，Q₁=12J，
解得：Q_总=18J
拉力的功：W_F=$\frac{1}{2}$mv²+Q_总=$\frac{1}{2}m（at）^{2}$+Q_总=$\frac{1}{2}$×1×（2×1）²+18=20J；
答：（1）若施加的水平恒力F=8N，则金属棒达到稳定时速度为6m/s；
（2）若施加的水平外力功率恒定，且棒达到稳定时的速度为1.5m/s，则水平外力的功率为3W；
（3）若施加的水平外力使棒MN由静止开始做加速度为2m/s²的匀加速直线运动，且经历t=1s时间，灯泡中产生的热量为12J，此过程中外力做了20J的功．

点评 本题是电磁感应与电路、力学知识的综合，运用法拉第电磁感应定律、欧姆定律和运动学规律结合解答，要注意理想电压表内阻看作无穷大，回路中电阻不是R+r，而是R+$\frac{1}{2}$r．