Question

7．如图（a）所示，M、N为中心开有小孔的平行板电容器的两极，相距D=lm，其右侧为垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度B=1×10^-3T，磁场区域足够长，宽为d=0.01m；在极板M、N之间加有如图（b）所示的交变电压（设N极电势高于M极时电压为正），现有带负电粒子不断从极板M中央小孔处射入电容器内（粒子的速度可看作零；重力不计），取其荷质比q：m=2×10¹¹C/kg，试求：

（1）要使带电粒子从磁场右侧射出，带电粒子进入磁场的速度要满足什么条件？
（2）在交变电压第一个周期内，哪些时刻进入电容器内的粒子能从磁场的右侧射出来？

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律求粒子在电容器中的加速度，然后由运动学公式求出时间；
根据动能定理求粒子到达磁场时的速度，然后由牛顿第二定律求出磁场中圆周运动的半径，结合几何知识求偏移的距离L；
恰好与右边界相切为从右边界射出的临界情况，结合动能定理和运动学公式计算判断．

解答 解：（1）带电粒子在磁场区域运动时，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：$qvB=m\frac{v^2}{R}$，解得：$R=\frac{mv}{qB}$，
粒子要从磁场的右侧射出，其作圆周运动的半径须满足：R≥d，解得：$v≥\frac{qBd}{m}$，
代入数据解得：v≥2×10⁶m/s；
（2）粒子在电场中，无论作加速运动还是作减速运动，其加速度的大小都为：$a=\frac{qU}{mD}$，
设带电粒子先作加速运动后作减速运动至极板N在中央小孔处，以速度v进入磁场中，
则：$D=\frac{{{{（at）}^2}}}{2a}+\frac{{{{（at）}^2}-{v^2}}}{2a}$，式中t为粒子作加速运动的时间，
解得：$t=\sqrt{\frac{{2aD+{v^2}}}{{2{a^2}}}}$$t=\sqrt{\frac{{2×4×{{10}^{12}}+{{（2×{{10}^6}）}^2}}}{{2×{{（4×{{10}^{12}}）}^2}}}}s=\sqrt{\frac{8+4}{{2×{4^2}}}}×{10^{-6}}s=\frac{1}{4}×\sqrt{\frac{12}{2}}×{10^{-6}}s=\frac{{\sqrt{6}}}{4}×{10^{-6}}s$
故t≥0.61×10^-6s，所以，在0-0.39×10^-6s时间内进入电容器内的粒子将从磁场右侧射出；
答：（1）要使带电粒子从磁场右侧射出，带电粒子进入磁场的速度要满足的条件是：v≥2×10⁶m/s；
（2）在交变电压第一个周期内，0-0.39×10^-6s时刻进入电容器内的粒子能从磁场的右侧射出来．

点评 本题主要考查了电子在电场和磁场中运动问题，要求同学们能正确分析粒子的受力情况和运动情况，画出粒子运动的轨迹，并结合几何关系求解，难度较大．