Question

14．如图所示，一个质量为M，半径为R的光滑均质半球，静置于光滑水平桌面上，在球顶有一个质量为m的质点，由静止开始沿球面下滑，试求：质点离开球面以前的轨迹．

Answer 1

分析 质点下滑，半球后退，水平方向受到的外力为零，满足水平方向动量守恒，根据动量守恒定律求出小球水平位移的表达式，再根据几何关系求出竖直方向位移的表达式，从而求出轨迹方程．

解答 解：质点下滑，半球后退，水平方向合力为零，满足水平方向动量守恒，
建立一个坐标：以半球球心O为原点，沿质点滑下一侧的水平轴为x坐标、竖直轴为y坐标．
由于质点相对半球总是做圆周运动的（离开球面前），引入相对运动中半球球心O′的方位角θ来表达质点的瞬时位置，如图所示：
设质点水平方向运动的位移为x，半圆运动的位移为X，运动时间为t，根据水平方向动量守恒定律得：
$M\frac{X}{t}=m\frac{x}{t}$，
根据几何关系得：
x+X=Rsinθ
解得：x=$\frac{M}{M+m}Rsinθ$…①
而由图知：y=Rcosθ…②
由①②得：
$\frac{{x}^{2}}{（\frac{MR}{M+m}）^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{R}^{2}}=1$
则质点的轨迹是一个长、短半轴分别为R和$\frac{M}{M+m}$R的椭圆．
答：质点离开球面以前的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{{（\frac{MR}{M+m}）}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{R}^{2}}=1$，轨迹是一个长、短半轴分别为R和$\frac{M}{M+m}$R的椭圆．

点评 解答本题的关键是掌握动量守恒定律的直接应用，知道在运动过程中，水平方向的动量是守恒的，同时注意几何关系在解题时的应用，难度较大．