Question

京津城际铁路是中国最早开工建设并最先建成的高标准铁路客运专线，连接首都北京和天津两大直辖市．列车在正式运营前要进行测试．在某次测试中，测试人员从列车启动开始，每隔一段时间记录下列车的速度．列车速度v与对应时间t的数据记录如下表所示：

t/s	0	100	200	300	400	500	600	700	800
v/（m?s-1）	0	20.0	40.0	60.0	80.0	100.0	100.0	100.0	100.0
t/s	900	1000	1100	1200	1300	1400	1500	1600	1700
v∥（m?s-1）	100.0	100.0	100.0	100.0	80.0	60.0	40.0	20.0	0

在下列问题中，将铁路作为平直路面处理．取g=10m/s²．
（1）以时间t为横轴、速度v为纵轴在坐标纸上建立直角坐标系，根据上表中的v、t数据，在坐标系中描点，并作出小车运动的v-t图象．

（2）在这次测试中，列车在0至400s内的加速度大小是

0.2

m/s²；列车在整个运动过程中运动的距离约为

120

km．
（3）在这次测试中，列车减速时，一小物体从距列车地板2.5m高的顶板上脱落．将列车的减速过程视为匀减速运动．试计算小物体在地板上的落点与在顶板上的脱落点之间的水平距离．
（4）如图所示是在城际铁路上用超声波测速仪测量车速的示意图，超声波信号发射器和接收器在同一位置．通过发射器发出信号，信号与列车相遇时立即被反射回来，并被接收器接收，根据发出信号和接收到信号的时间差，可以测出列车的速度．某次测量中，t₀=0时发出超声波信号P₁，t₁=0.6s时接收到反射信号；t₂=1.0s时发出信号P₂，t₃=1.2s接收到反射信号．超声波在空气中传播的速度v=340m/s．由于测量时间很短，可认为在测量时间内列车的速度不变．求：
（1）信号P₁与列车相遇时，列车与测速仪之间的距离；
（2）这次测量中列车的速度．

Answer 1

分析：（1）建立坐标系，描点，再连线．
（2）v-t图象的斜率等于加速度，图象与坐标轴所围面积表示位移，根据数学知识求解加速度和位移．
（3）小物体从列车的顶板上脱落后做平抛运动，根据平抛运动和匀减速运动的规律求出小物体的水平位移和列车的位移，两者之差等于小物体在地板上的落点与在顶板上的脱落点之间的水平距离．
（4）由题意可知，P₁、P₂的时间间隔为1.0秒，根据声音往返的特点，确定两个信号P₁和P₂传到列车的时间，从而可以求出超声波前后两次从测速仪到列车所用的时间，结合声速，进而可以求出前后两次汽车到测速仪之间的距离，即可求出车速．

解答：解：（1）作出小车运动的v-t图象如图所示．
（2）根据v-t图象的斜率等于加速度，则得列车在0至400s内的加速度大小是a=

80

400

m/s²=0.2m/s²
根据v-t图象与坐标轴所围面积表示位移，则得列车在整个运动过程中运动的距离约为s=

700+1700

2

×100m=120000m=120km
（3）依题意知，当物体脱离顶板后，由于惯性，仍具有沿列车前进方向的水平速度，设为v₀．小物体脱离顶板后做平抛运动，列车做匀减速直线运动．    对于小物体：
竖直方向有：h=

1

2

gt2
  水平方向有：x₁=v₀t，
列车的水平位移为x₂=v₀t-

1

2

at2
故小物体在地板上落点与在顶板上脱落点之间的水平距离
   x=x₁-x₂=

a

g

h=0.05m
（4）、（1）由题意，t₀=0时发出超声波信号P₁，t₁=0.6s时接收到反射信号信号P1，超声波经0.6s往返一次，所以传到列车所用时间为t₄=0.3s，则列车距测速仪的距离为
   d₁=vt₄=340×0.3m=102m
（2）P₂信号经1.2s-1.0s=0.2s往返一次，所以传播时间为t₂=0.1s
在1.1s时遇到列车，列车距测速仪的距离为
   d₂=vt₂=340×0.1m=34m
列车前进距离S=d₁-d₂=102m-34m=68m
前进所用时间 t=1.1s-0.3s=0.8s
故列车的速度v=

s

t

=68/0.8=85m/s
故答案为：
（1）如图所示．
（2）0.2，120．
（3）小物体在地板上的落点与在顶板上的脱落点之间的水平距离是0.05m
（4）、（1）信号P₁与列车相遇时，列车与测速仪之间的距离是102m；
（2）这次测量中列车的速度是85m/s．

点评：本题要掌握速度的物理意义：斜率等于加速度，“面积”等于位移．对于两个物体的运动，关键确定它们之间的关系．对于超声波测速这种问题，确定声音传播的时间是本题的难点，要注意紧扣声音往返的特点，然后找出相关物理量才是解答本题的关键．