Question

如图，A、B间距离为L₀的水平传送带和一倾角为θ的斜面在B处相接，动摩擦因数都为μ，μ＜tanθ，传送带以足够大的速度顺时针运动，在其左端的A点无初度的放上一物体．（物体在传送带与斜面相接处运动时无机械能损失）求：

（1）物休在斜面上能上滑的最大高度？
（2）第一次返回传送带上距B的最大距离？
（3）物体运动的总路程是多少？

Answer 1

（1）物体在传送带上获得的加速度为μmg=ma
a=μg
到达B点时获得的速度为2aL0

=v

2B

v_B=

2aL0

=

2μgL0

物体在斜面上上升时的加速度为-mgsinθ-μmgcosθ=ma_上
a_上=-gsinθ-μgcosθ
上滑的最大高度为
2a_上

h

sinθ

=0-

v

2B

代入数据解得h=

μL0sinθ

sinθ+μcosθ

（2）在下滑过程中加速度为mgsinθ-μmgcosθ=ma_下
a_下=gsinθ-μgcosθ
到达B点时的速度为
2a_下

h

sinθ

=v

′2B

解得v′_B=

2μgL0(sinθ-μcosθ) sinθ+μcosθ

距B点的最大距离为
-2ax=0-

v

′2B

代入数据解得x=

L0(sinθ-μcosθ)

sinθ+μcosθ

；
（3）第一次在斜面上上升的位移为
L0=

h

sinθ

=

μL0

sinθ+μcosθ

第二次到达B点时的速度为2ax

=v

′2B

上升的位移为
2a_上L=0-

v

′2B

L=

L0(sinθ-μcosθ)

(sinθ+μcosθ)2

下滑到B点具有的速度为2a_下

L=v

″2B

v

″B

=

2μgL0(sinθ-μcosθ)2 (sinθ+μcosθ)2

在水平传送带上向左通过的位移为
-2ax′=0-

v

″2B

x′=

L0(sinθ-μcosθ)2

(sinθ+μcosθ)2

依此类推
在水平传送带上的路程为
X=L0+

2L0(sinθ-μcosθ)

sinθ+μcosθ

(

1-( sinθ-μcosθ sinθ+μcosθ )n

1- sinθ-μcosθ sinθ+μcosθ

)
在斜面上的路程为
X′=

μL0

sinθ+μcosθ

(

1-( sinθ-μcosθ sinθ+μcosθ )n

1- sinθ-μcosθ sinθ+μcosθ

)
总路程为X_总=X+X′=L0+

2L0(sinθ-μcosθ)

sinθ+μcosθ

(

1-( sinθ-μcosθ sinθ+μcosθ )n

1- sinθ-μcosθ sinθ+μcosθ

)+

μL0

sinθ+μcosθ

(

1-( sinθ-μcosθ sinθ+μcosθ )n

1- sinθ-μcosθ sinθ+μcosθ

)
答：（1）物休在斜面上能上滑的最大高度是

μL0cosθ

sinθ+μcosθ

（2）第一次返回传送带上距B的最大距离为

L0(sinθ-cosθ)

sinθ+μcosθ

（3）物体运动的总路程是L0+

2L0(sinθ-μcosθ)

sinθ+μcosθ

(

1-( sinθ-μcosθ sinθ+μcosθ )n

1- sinθ-μcosθ sinθ+μcosθ

)+

μL0

sinθ+μcosθ

(

1-( sinθ-μcosθ sinθ+μcosθ )n

1- sinθ-μcosθ sinθ+μcosθ

)