Question

9．如图所示，挡板P固定在倾角为θ的斜面上，质量分别为m₁、m₂的小物块A和B均可视为质点，两物块由一劲度系数为k的轻弹簧相连，一不可伸长的轻绳跨过定滑轮，一端与B相连，另一端连接一轻质小钩．A、B最初静止，不计一切摩擦力．已知重力加速度为g．
（1）若在小钩上挂一质量为M的小物块C，并由静止释放，恰好能使A离开挡板P，C下降了多少？
（2）若小物块C的质量改为2M，并由静止释放，则当A刚要离开挡板P时B的速度是多大？

Answer 1

分析 （1）初始状态弹簧处于压缩状态，形变量为 x₁，物块A恰好能离开挡板P时，对挡板P的压力恰为零，根据胡克定律此时弹簧的伸长量x₂，两者之和也就是C物体的下降距离．
（2）若C的质量改为2m，则当A刚离开挡板P时，弹簧的伸长量仍为x₂，但此时A物体静止但B、C两物体的速度相等且不为零，此过程中C物体重力势能减少量等于B物体机械能和电势能的增量、弹簧弹簧弹性势能增量及系统动能的增量之和．

解答 解：（1）设最初静止时弹簧被压缩了x₁，对B作受力分析，由胡克定律有：
kx₁=m₂gsin θ
得x₁=$\frac{{m}_{2}gsinθ}{k}$  …①
设A刚离开挡板时弹簧伸长了x₂，对A进行受力分析，由胡克定律有：
kx₂=m₁gsin θ
得x₂=$\frac{{m}_{1}gsinθ}{k}$  …②
故挂上小物体C时，C下落的高度（即B沿斜面上滑的路程）为
S=x₁+x₂=$\frac{{（m}_{1}+{m}_{2}）gsinθ}{k}$．…③
（2）由能量守恒定律知，质量为M的小物块C下落S的过程中，其重力势能的减少量等于物块B重力势能的增加量，以及弹簧弹性势能的增量之和，即：
MgS=m₂gSsin θ+△E弹  …④
当小物块C的质量改为2M时，根据能量守恒定律又有：
2MgS=m₂gSsin θ+△E弹+$\frac{1}{2}$（2M+m₂ ）v²   …⑤
由以上两式可得A刚离开挡板P时小物块B（包括C）获得的速度为：
v=$\sqrt{\frac{2MgS}{2M+{m}_{2}}}$=$\sqrt{\frac{2M（{m}_{1}+{m}_{2}）{g}^{2}sinθ}{（2M+{m}_{2}）k}}$   …⑥
答：（1）若在小钩上挂一质量为M的小物块C，并由静止释放，恰好能使A离开挡板P，C下降了$\frac{{（m}_{1}+{m}_{2}）gsinθ}{k}$；
（2）若小物块C的质量改为2M，并由静止释放，则当A刚要离开挡板P时B的速度是$\sqrt{\frac{2M（{m}_{1}+{m}_{2}）{g}^{2}sinθ}{（2M+{m}_{2}）k}}$

点评 本题过程较繁杂，涉及功能关系多，有弹性势能、重力势能等之间的转化，全面考察了学生综合分析问题能力和对功能关系的理解及应用，难度较大．对于这类题目在分析过程中，要化繁为简，即把复杂过程，分解为多个小过程分析，同时要正确分析受力情况，弄清系统运动状态以及功能关系．