Question

8．质量为m的圆形糟，内外半径几乎同为R，槽内A、B两处分别放有质量同为m的小球，AB间的距离为槽的直径．不计一切摩擦，现将系统置于光滑水平面上，开始系统静止，现令两球同时具有垂直AB向右的速度v，试求此后两球第一次相距为R时，槽圆心运动的速度．

Answer 1

分析 建立水平方向的x轴和y轴．由系统的对称性可知中心或者说槽整体将仅在x轴方向上运动，水平向的动量守恒结合机械能守恒求解．

解答 解：在水平面参考系中建立水平方向的x轴和y轴．由系统的对称性可知中心或者说槽整体将仅在x轴方向上
运动．设槽中心沿x轴正方向运动的速度变为v₀，两小球相对槽心做角速度大小为 的圆周运动，A球处于如图

所示的位置时，相对水平面的两个分速度为：v_x=ωRsinθ+v₀    ①
                                    v_y=-ωRcosθ        ②
B球的运动与A球的运动是对称的．
因系统在x轴方向上动量守恒、机械能也守恒，因此
                         mv₀+2mv_x=2mv          ③
                         $2×\frac{1}{2}m（{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}）+\frac{1}{2}m{v}^{2}=2×\frac{1}{2}m{v}^{2}$     ④
将①、②式代入③、④式得：3v₀=2v-2ωRsinθ  
                         ${ω}^{2}{R}^{2}+2ωR{v}_{0}sinθ+{v}_{0}^{2}+\frac{1}{2}{v}_{0}^{2}={v}^{2}$
由此解得：${v}_{0}=\frac{2}{3}（1-\frac{sinθ}{\sqrt{3-2si{n}^{2}θ}}）v$
当两球间距离为R时，代入可解得槽中心运动的速度为：v₀=$\frac{2}{3}（1-\frac{1}{\sqrt{10}}）v$
答：槽圆心运动的速度为$\frac{2}{3}（1-\frac{1}{\sqrt{10}}）v$

点评 本题结合动量守恒与机械能守恒进行求解，明确在水平向的速度的合成，综合性强．