Question

（2011?天津）如图所示，圆管构成的半圆形竖直轨道固定在水平地面上，轨道半径为R，MN为直径且与水平面垂直，直径略小于圆管内径的小球A以某一初速度冲进轨道，到达半圆轨道最高点M时与静止于该处的质量与A相同的小球B发生碰撞，碰后两球粘在一起飞出轨道，落地点距N为2R．重力加速度为g，忽略圆管内径，空气阻力及各处摩擦均不计，求：
（1）粘合后的两球从飞出轨道到落地的时间t；
（2）小球A冲进轨道时速度v的大小．

Answer 1

分析：（1）求平抛运动的时间，当然是从竖直方向的自由落体运动中求得．
（2）小球A以某一初速度冲进轨道，到达半圆轨道最高点的过程机械能守恒、A与B碰撞过程动量守恒，而碰撞完成后的速度就是AB一起平抛的初速度．列出机械能守恒和动量守恒的方程组，问题可解．

解答：解：（1）粘合后的两球飞出轨道后做平抛运动，竖直方向分运动为自由落体运动，
有2R=

1

2

gt2…①
解得t=2

R g

…②
（2）设球A的质量为m，碰撞前速度大小为v₁，把球A冲进轨道最低点时的重力势能定为0，由机械能守恒定律知 

1

2

mv2=

1

2

m

v

2 1

+2mgR…③
设碰撞后粘合在一起的两球速度大小为v₂，则v₂=

2R

t

=

gR

由动量守恒定律知 mv₁=2mv_2…④
飞出轨道后做平抛运动，水平方向分运动为匀速直线运动，有 2R=v₂t…⑤
综合②③④⑤式得v=2

2gR

答：（1）两球从飞出轨道到落地的时间t=2

R g

（2）小球A冲进轨道时速度为2

2gR

．

点评：本题考查机械能守恒和动量守恒，分段列出相应的物理规律方程是解决问题的关键，