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如图所示,两个可视为质点的小球a和b,用质量可忽略的刚性细杆相连,放置在一个光滑的半球面内,已知小球a和b的质量分别为
3
m、m.细杆长度是球面半径的
2
倍.两球处于平衡状态时,有关下列说法正确的是(  )
分析:分别对两球及整体受力分析,由几何关系可得出两球受力的大小关系,及平衡时杆与水平方向的夹角;注意本题要用到相似三角形及正弦定理.
解答:解:因杆可以绕任一点转动,故若杆对a、b的作用力不沿杆,则杆不可能处于平衡状态; 故杆对ab球的弹力一定沿杆,且对两球的作用力大小一定相等;故B错误;
设细杆对两球的弹力大小为T,小球a、b的受力情况如图所示其中球面对两球的弹力方向指向圆心,即有:cos α=
2
R
2
R
=
2
2

解得:α=45°
故FNa的方向为向上偏右,即β1=90°-45°-θ=45°-θ
FNb的方向为向上偏左,即β2=90°-(45°-θ)=45°+θ
两球都受到重力、细杆的弹力和球面的弹力的作用,过O作竖直线交ab于c点,设球面的半径为R,则oac与左侧力三角形相似;oac与右侧力三角相似;则由几何关系可得:
mag
OC
=
FNa
R
=
T
ac

mbg
OC
=
FNb
R
=
T
bc

解得:FNa=
3
FNb
半球面对两球的弹力之比为
3
,故D错误;
取a、b及细杆组成的整体为研究对象,由平衡条件得:
FNa?sin β1=FNb?sin β2
3
FNb?sin(45°-θ)=FNb?sin(45°+θ)
解得:θ=15°.故A正确;
由几何关系可知,∠ocb=75°,则∠cob=60°
则有正弦定理可得:
T
sin60°
=
mg
sin45°

解得:
T=
6
2
mg;故C正确;
故选AC.
点评:本题的难点在于几何关系的确定,对学生的要求较点,只有找出合适的几何关系,才能找出突破本题的关键;应认真体会相似三角形及正弦定理的应用.难度很大.
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A.当 时,A、B相对于转盘会滑动

B.当时,绳子一定有弹力

C.ω在范围内增大时,A所受摩擦力一直变大

D.ω在 范围内增大时,B所受摩擦力变大

 

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