Question

如图所示，两个可视为质点的小球a和b，用质量可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，已知小球a和b的质量分别为

3

m、m．细杆长度是球面半径的

2

倍．两球处于平衡状态时，有关下列说法正确的是（　　）

• A．细杆与水平面的夹角θ=15°
• B．杆对a、b球作用力的方向不一定沿杆
• C．杆对a、b球的作用力的大小为

  6

  2

  mg
• D．半球面对a、b球的弹力之比为

  3

  3

Answer 1

分析：分别对两球及整体受力分析，由几何关系可得出两球受力的大小关系，及平衡时杆与水平方向的夹角；注意本题要用到相似三角形及正弦定理．

解答：解：因杆可以绕任一点转动，故若杆对a、b的作用力不沿杆，则杆不可能处于平衡状态； 故杆对ab球的弹力一定沿杆，且对两球的作用力大小一定相等；故B错误；
设细杆对两球的弹力大小为T，小球a、b的受力情况如图所示其中球面对两球的弹力方向指向圆心，即有：cos α=

2 R 2

R

₌

2

2

解得：α=45°
故F_Na的方向为向上偏右，即β₁=90°-45°-θ=45°-θ
F_Nb的方向为向上偏左，即β₂=90°-（45°-θ）=45°+θ
两球都受到重力、细杆的弹力和球面的弹力的作用，过O作竖直线交ab于c点，设球面的半径为R，则oac与左侧力三角形相似；oac与右侧力三角相似；则由几何关系可得：

mag

OC

=

FNa

R

=

T

ac

mbg

OC

=

FNb

R

=

T

bc

解得：F_Na=

3

F_Nb；
半球面对两球的弹力之比为

3

，故D错误；
取a、b及细杆组成的整体为研究对象，由平衡条件得：
F_Na?sin β₁=F_Nb?sin β₂
即

3

F_Nb?sin（45°-θ）=F_Nb?sin（45°+θ）
解得：θ=15°．故A正确；
由几何关系可知，∠ocb=75°，则∠cob=60°
则有正弦定理可得：

T

sin60°

=

mg

sin45°

解得：
T=

6

2

mg；故C正确；
故选AC．

点评：本题的难点在于几何关系的确定，对学生的要求较点，只有找出合适的几何关系，才能找出突破本题的关键；应认真体会相似三角形及正弦定理的应用．难度很大．