Question

如图所示，倾角30°的光滑固定斜面的底端安有一个挡板，斜面上放有一根轻质弹簧，弹簧的一端固定在挡板上，另一端连接着质量m=0.2kg的小球B，B球平衡时，弹簧的压缩量为x（图中O点是弹簧不连接B球时自由端的位置）．今有另一形态大小和B球相同的A球从距B球6x处的斜面上无初速度滑下，它与B球碰撞后粘合在了一起，它们沿斜面向下到达最低点后又沿斜面向上运动，其向上运动到达最高点为P点，P到O的距离也为x．若两小球均可视为质点，且已知同一根弹簧的弹性势能大小仅由弹簧的形变量决定，整个过程中弹簧的形变始终未超过弹性限度，试求：
（1）A球下滑6x即将与B球碰撞时的A球的速度（假设题中x是已知量）；
（2）A球的质量（假设题中x是未知量）．

Answer 1

分析：（1）A球下滑6x，与B球碰撞前的过程，只有重力做功，A球的机械能守恒，据此定律列式求解即可．
（2）A与B球碰撞过程中，遵守动量守恒，可列式动量守恒方程；碰后，A、B和弹簧组成的系统在运动过程中，机械能守恒，再由机械能守恒定律列出方程，结合第1问的结果，即可求解A球的质量．

解答：解：（1）设A球的质量为M，A与B球碰撞前后，A球的速度分别是v₁和v₂，因A球滑下过程中，机械能守恒，有：
   Mg(6x)sin30°=

1

2

M

v

2 1

解得：v1=

6xg

  ①
（2）又因A与B球碰撞过程中，动量守恒，有 Mv1=(m+M)

v

2

  ②
碰后，A、B和弹簧组成的系统在运动过程中，机械能守恒．因碰撞时弹簧的压缩量与A、B到达P点时弹簧的伸长量相等，
则有：(m+M)g(2x)sin30°=

1

2

(m+M)

v

2 2

解得：v2=

2xg

  ③
将①、③代入②式解得：M=

(1+ 3 )m

2

  ④
代入数据，解得：M=

1+ 3

10

kg
答：
（1）A球下滑6x即将与B球碰撞时的A球的速度为

6xg

．
（2）A球的质量为

1+ 3

10

kg．

点评：分析清楚物体运动过程、抓住碰撞时弹簧的压缩量与A、B到达P点时弹簧的伸长量相等，弹簧势能相等是关键，应用机械能守恒定律、动量守恒定律即可正确解题．