Question

15．如图，太阳系中星体A绕太阳做半径为R₁的圆周运动，星体B作抛物线运动．B在近日点处与太阳的相距为R₂=2R₁，且两轨道在同一平面上，两星体运动方向如图中箭头所示．设B运动到近日点时，A恰好运动到B与太阳连线上，A、B随即发生某种强烈的相互作用而迅速合并成一个新的星体，其间的质量损失可忽略．试证明新星体绕太阳的运动轨道为椭圆．

Answer 1

分析 A、B星体靠拢过程中动量守恒，从而求出新星体C的速度，计算C新星体的机械能判断轨道的形状是否为椭圆．

解答 证明：计算新星体C的机械能，设C距日R₃，设A、B星球的速度分别为v_A和v_B，则：
在径向：可以认为在A、B靠拢过程中质心未动，所以C到太阳的距离为
R₃=$\frac{{m}_{A}{R}_{1}+{m}_{B}{R}_{2}}{{m}_{A}+{m}_{B}}$=$\frac{{m}_{A}+2{m}_{B}}{{m}_{A}+{m}_{B}}{R}_{1}$     ①
在切向：A、B合并过程中动量也守恒，则有（m_A+m_B）v_C=m_Av_A+m_Bv_B     ②
研究②中的v_A、v_B：
因A做圆周运动，故v_A=$\sqrt{\frac{GM}{{R}_{1}}}$
所以v_B=$\sqrt{\frac{GM}{{R}_{2}}}$=$\sqrt{\frac{2GM￢}{2{R}_{1}}}$=$\sqrt{\frac{GM}{{R}_{1}}}$=v_A
将v_A、v_B带入②得v_C=$\sqrt{\frac{2GM}{{R}_{1}}}$      ③
利用①③C星体的机械能为
E_C=$\frac{1}{2}$（m_A+m_B）${v}_{C}^{2}$-G$\frac{M（{m}_{A}+{m}_{B}）}{{R}_{C}}$=$\frac{1}{2}$（m_A+m_B）$\frac{2GM}{{R}_{1}}$-$\frac{GM（{m}_{A}+{m}_{B}）}{\frac{{m}_{A}+2{m}_{B}}{{m}_{A}+{m}_{B}}{R}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$G$\frac{M{m}_{A}（{m}_{A}+{m}_{B}）}{（{m}_{A}+2{m}_{B}）{R}_{1}}＜0$
因此，新星体C的轨道为椭圆．

点评 本题难度很大，关键是运用了选修3-5知识点动量守恒定律，同学们平时学习时要学会构建物理模型，记住有用的结论，本题中动量守恒定律，机械能、万有引力定律等知识点，平时学习要各个击破．