Question

14．竖直平面内的轨道ABCD由水平滑道AB与光滑的四分之一圆弧滑道CD组成，AB恰与圆弧CD在C点相切，轨道放在光滑的水平面上，如图所示，已知轨道质量M=2kg处于静止，AB=1m，圆弧轨道半径R=2.8m，现有一个质量m=1kg的小物块从平台以速度V₀从A端滑上，小物块与小车水平轨道间的动摩擦因数μ=0.4，（g取10m/s²）．
（1）若轨道固定不动，要使小物块恰好滑上轨道最高点D，初速度V₀应是多少？小滑块运动到最高点后再返回C端时对圆弧轨道的压力是多少？小滑块最后是否能停止在板上？
（2）若轨道不固定，使小物块恰好滑不上圆弧，初速度V₀是多少？摩擦力对小物块做了多少功？这个过程用了多长时间？
（3）若轨道不固定，要使小物块恰好滑上轨道的最高点，初速度V₀应是多少？
（4）若轨道不固定，小物块滑上轨道沿轨道运动，由DC弧滑下后就停在水平滑道AB的中点，则初速度V₀应是多少？

Answer 1

分析 （1）若轨道固定不动，要使小物块恰好滑上轨道最高点D，则到达D点速度为零，根据动能定理求解初速度，再根据动能定理求出到达C点速度，根据牛顿第二定律求出压力，根据动能定理求出到达A点速度，从而判断能不能停在板上；
（2）若轨道不固定，当物块运动到B点时与木板速度相同，恰好滑不上圆弧，根据动量守恒定律以及能量守恒定律求解初速度和摩擦力对小物块做的功，动量定理求解时间；
（3）若轨道不固定，要使小物块恰好滑上轨道的最高点，则到达最高点时，物块与木板的水平方向速度相等，竖直方向速度为零，根据动量守恒定律以及能量守恒定律求解初速度；
（4）若轨道不固定，小物块滑上轨道沿轨道运动，由DC弧滑下后就停在水平滑道AB的中点，此过程中，根据动量守恒定律以及能量守恒定律求解初速度．

解答 解：（1）从A到D的过程中，根据动能定理得：$0-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=-mgR-μmgl$，解得：v₀=8m/s，
小滑块运动到最高点后再返回C端的过程中，根据动能定理得：$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=mgR$，
在C点，根据牛顿第二定律得：${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
解得：F_N=30N，
物块从D到A的过程中，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}-0=mgR-μmgl$
解得：v_A=$4\sqrt{3}m/s$，则小滑块最后不能停止在板上，
（2）若轨道不固定，当物块运动到B点时与木板速度相同，恰好滑不上圆弧，以向右为正，根据动量守恒定律得：
mv₀=（M+m）v₁，
根据能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{{v}_{1}}^{2}=μmgl$
解得：v₀=$2\sqrt{3}m/s$，${v}_{1}=\frac{2\sqrt{3}}{3}m/s$，
对物块，根据动能定理得：${W}_{f}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$=-5.33J，
根据动量定理得：-μmgt=mv₁-mv₀，解得：t=$\frac{\sqrt{3}}{3}s$，
（3）若轨道不固定，要使小物块恰好滑上轨道的最高点，则到达最高点时，物块与木板的水平方向速度相等，竖直方向速度为零，根据动量守恒定律得：mv₀=（M+m）v₂，
根据能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{{v}_{2}}^{2}=μmgl+mgR$
解得：v₀=$4\sqrt{6}m/s$
（4）若轨道不固定，小物块滑上轨道沿轨道运动，由DC弧滑下后就停在水平滑道AB的中点，此过程中，根据动量守恒定律得：
mv₀=（M+m）v₃，
根据能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{{v}_{3}}^{2}=μmg•\frac{3}{2}l$
解得：v₀=$3\sqrt{2}m/s$
答：（1）若轨道固定不动，要使小物块恰好滑上轨道最高点D，初速度V₀应是8m/s，小滑块运动到最高点后再返回C端时对圆弧轨道的压力是30N，小滑块最后不能停止在板上；
（2）若轨道不固定，使小物块恰好滑不上圆弧，初速度V₀是$2\sqrt{3}m/s$，摩擦力对小物块做的功为-5.33J，这个过程用了$\frac{\sqrt{3}}{3}s$；
（3）若轨道不固定，要使小物块恰好滑上轨道的最高点，初速度V₀应是$4\sqrt{6}m/s$；
（4）若轨道不固定，小物块滑上轨道沿轨道运动，由DC弧滑下后就停在水平滑道AB的中点，则初速度V₀应是$3\sqrt{2}m/s$．

点评 本题主要考查了动量守恒定律、能量守恒定律以及动能定理的直接应用，要求同学们能正确分析物块的运动的情况，知道应用动量守恒定律解题时要规定正方向，难度适中．