Question

4．有一地球卫星运行轨道与地球赤道共面，绕地球做匀速圆周运动，该卫星的周期为T．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，求：
（1）该卫星离地面高度h；
（2）如果某时刻该卫星恰好经过赤道上某设施A点正上空，若地球自转不能忽略，已知地球自转周期为T₀．至少经多长时间卫星再次经过A点正上空？

Answer 1

分析 （1）根据重力等于万有引力，引力等于向心力，列式求解．根据万有引力提供向心力即可求解．
（2）卫星绕地球做匀速圆周运动，建筑物随地球自转做匀速圆周运动，当卫星转过的角度与建筑物转过的角度之差等于2π时，卫星再次出现在建筑物上空．

解答 解：（1）在地球表面上，物体受到的万有引力与物体的重力近似相等，即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg  ①
由卫星所需的向心力由万有引力提供可得 G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r，r=R+h  ②
由①②解得：h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R
（2）设至少经多长t时间卫星再次经过A点正上空，则 $\frac{2π}{T}$t-$\frac{2π}{{T}_{0}}$t=2π
解得 t=$\frac{{T}_{0}T}{{T}_{0}-T}$
答：
（1）卫星的运行轨道距离地面高度为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R．
（2）至少经$\frac{{T}_{0}T}{{T}_{0}-T}$时间卫星再次经过A点正上空．

点评 卫星所受的万有引力等于向心力、地面附近引力等于重力是卫星类问题必须要考虑的问题，本题根据这两个关系即可列式求解．