Question

如图所示，在矩形区域内有垂直于纸平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B=5.0×10^-2T，矩形区域长为

2 3

5

m，宽为0.2m，在AD边中点O处有一放射源，某时刻，放射源沿纸面向磁场中各方向均匀地辐射出速率均为v=2×l0⁶m/S的某种带正电粒子，带电粒子质量m=1.6×10^-27kg．电荷量为q=+3.2×l0^-19C（不计粒子重力），求：
（1）带电粒子在磁场中做圆周运动的半径为多大？
（2）从BC边界射出的粒子中，在磁场中运动的最短时间为多少？
（3）若放射源向磁场内共辐射出了N个粒子，求从CD边界射出的粒子有多少个？

Answer 1

分析：（1）根据洛伦兹力提供向心力列方程求解；
（2）所有粒子的运动半径相同，所以弦最短的圆弧所对应的圆心角最小，运动时间最短．
（3）与BC相切的即为从CD边射出磁场的最上边缘的粒子，从D点射出的为从CD边射出的最下边缘的粒子，求出从这两点射出的粒子入射方向间的夹角，因为放射源向磁场内各方向均匀地辐射粒子，所以能从CD边射出的粒子数目为：n=

△θ

π

N．

解答：解：（1）洛伦兹力提供向心力：qvB=m

v2

R

得：R=

mv

qB

=0.2m
（2）因为所有粒子的轨迹半径相同，所以弦最短的圆弧所对应的圆心角最小，运动时间最短．
作EO⊥AD，EO弦最短，

因为

.

EO

=0.2m，且R=0.2m
所以对应的圆心角为θ=

π

3

又qvB=mR（

2π

T

）²
得：T=

2πm

qB

则最短时间为：t=

θm

qB

=

πm

3qB

=

π

3

×10^-7s
（3）判断从O点哪些方向射入磁场的粒子将会从CD边射出，如图为两个边界，
当速度方向满足一定条件时，粒子将从D点射出磁场，

.

OD

=

3

5

m，且R=0.2m
由三角函数知识可知∠OO₂D=

2π

3

此时射入磁场的粒子速度方向与OD夹角为

π

3

，
当轨迹圆与BC边相切时，因为R=0.2m，

.

CD

=0.2m，可知圆心O₁在AD边上，
因为

.

OO1

＜

.

OD

所以带电粒子不可能通过C点，
与BC相切的即为从CD边射出磁场的最上边缘的粒子，
该粒子进入磁场的速度方向垂直AD向上，与OD之间的夹角为

π

2

，
所以从CD边射出的粒子，射入磁场时速度方向应与OD边夹角在

π

3

到

π

2

之间△θ=

π

6

的范围内，
因为放射源向磁场内各方向均匀地辐射粒子，
所以能从CD边射出的粒子数目为：
n=

△θ

π

N
即：n=

N

6

答：（1）带电粒子在磁场中做圆周运动的半径为0.2m；
（2）从BC边界射出的粒子中，在磁场中运动的最短时间为

π

3

×10^-7s；
（3）若放射源向磁场内共辐射出了N个粒子，从CD边界射出的粒子有

N

6

个．

点评：解决题目的关键是找出临界情况，并画出临界情况下磁场中运动的轨迹，确定边界范围，找到与之对应的入射角及对应的圆心角．