Question

1．如图所示，两根平行的光滑金属导轨MN、PQ放在水平面上，左端向上弯曲，导轨间距为L，电阻不计．水平段导轨所处空间存在方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B．导体棒a与b的质量均为m，电阻值分别为R_a=R，R_b=2R．b棒放置在水平导轨上足够远处，a棒在弧形导轨上距水平面h高度处由静止释放．运动过程中导体棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直，重力加速度为g．
（1）求a棒刚进入磁场时受到的安培力的大小和方向；
（2）求最终稳定时两棒的速度大小；
（3）从a棒开始下落到最终稳定的过程中，求b棒上产生的内能．

Answer 1

分析 （1）a棒下滑过程机械能守恒，根据机械能守恒定律列式求解末速度；根据切割公式求解感应电动势，根据欧姆定律求解感应电流，根据安培力公式求解安培力，根据右手定则判断感应电流方向，根据左手定则判断安培力方向；
（2）a棒进入磁场受，两个导体棒受安培力大小相等、方向相反，故两个导体棒系统水平方向动量守恒，根据动量守恒定律列式求解稳定时两棒的速度大小；
（3）对整个运动过程分析，a棒减小的重力势能转化为相同的动能和电热，根据能量守恒定律列式分析．

解答 解：（1）设a棒刚进入磁场时的速度为v，从开始下落到进入磁场，根据机械能守恒定律有：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
a棒切割磁感线产生感应电动势为：
E=BLv，
根据闭合电路欧姆定律有：
I=$\frac{E}{R+2R}$
a棒受到的安培力为：
F=BIL，
联立以上各式解得：F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gh}}{3R}$，方向水平向左；
（注：或方向与速度方向相反）
（2）设两棒最后稳定时的速度为v′，从a棒进入磁场到两棒速度达到稳定，根据动量守恒定律有：
mv=2m v′，
解得：v′=$\frac{1}{2}\sqrt{2gh}$；
（3）设a棒产生的内能为E_a，b棒产生的内能为E_b，根据能量守恒定律有：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}×2mv{′}^{2}+{E}_{a}+{E}_{b}$，
两棒串联内能与电阻成正比：E_b=2E_a，
解得：E_b=$\frac{1}{3}mgh$；
答：（1）a棒刚进入磁场时受到的安培力的大小为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gh}}{3R}$，方向水平向左；
（2）最终稳定时两棒的速度大小为$\frac{1}{2}\sqrt{2gh}$；
（3）从a棒开始下落到最终稳定的过程中，b棒上产生的内能为$\frac{1}{3}mgh$．

点评 本题高出滑杆问题，关键是结合切割公式、欧姆定律公式、安培力公式列式分析，注意a棒进入磁场后两个当系统动量守恒，还要对整个运动过程结合能量守恒定律列式分析．