Question

一倾角为θ＝45°的斜血固定于地面，斜面顶端离地面的高度h₀＝1m，斜面底端有一垂直于斜而的固定挡板。在斜面顶端自由释放一质量m＝0.09kg的小物块（视为质点）。小物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.2。当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回。重力加速度g＝10 m/s²。在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？

Answer 1

解法一：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，到达斜面底端时速度为v。

由功能关系得

                  ①

以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量

                                                   ②

设碰撞后小物块所能达到的最大高度为h’，则

                               ③

同理，有

                              ④

                                          ⑤

式中，v’为小物块再次到达斜面底端时的速度，I’为再次碰撞过程中挡板给小物块的冲量。由①②③④⑤式得

       ⑥

式中                                             ⑦

由此可知，小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为

                                   ⑧

总冲量为  

                        ⑨

由                                 ⑩

得                                ⑾

代入数据得     N·s                              ⑿

解法二：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，小物块受到重力，斜面对它的摩擦力和支持力，小物块向下运动的加速度为a，依牛顿第二定律得

                           ①

设小物块与挡板碰撞前的速度为v，则

                                     ②

以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量为

                               ③

由①②③式得

                                  ④

设小物块碰撞后沿斜面向上运动的加速度大小为a’， 依牛顿第二定律有

                                    ⑤

小物块沿斜面向上运动的最大高度为

                                       ⑥

由②⑤⑥式得                                     ⑦

式中                                   ⑧

同理，小物块再次与挡板碰撞所获得的冲量

                          ⑨

由④⑦⑨式得                                    ⑩

由此可知，小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为

                                              ⑾

总冲量为                    ⑿

由                                                       ⒀

得                                  ⒁

代入数据得     N·s                             ⒂