Question

质量为1×10³kg的汽车在平直公路上由静止开始行驶，所受阻力恒定．一开始做匀加速直线运动，加速度为2m/s²，第5s末达到最大输出功率．汽车以最大输出功率继续行驶，当汽车达到最大速度20m/s后匀速运动一段距离，然后驶入沙地，汽车在沙地上所受阻力为公路上的2倍．汽车在公路上行驶的总路程为200m．求：
（1）汽车的恒定功率；
（2）汽车在沙地上达到匀速时的速度大小；
（3）汽车在公路上行驶过程中发动机做功的平均功率．

Answer 1

分析：（1）汽车的最大输出功率为额定功率，在匀加速阶段列牛顿第二定律，依据功率与速度的关系，当牵引力等于阻力的时候，汽车到达最大速度，可求得阻力，据此来求额定功率．
（2）在沙地上匀速行驶时，牵引力等于阻力，匀速是速度最大，由vm=

P

f

可求汽车在沙地上达到匀速时的速度大小．
（3）由匀变速运动规律可求匀加速阶段的位移，进而可知变加速阶段位移，由动能定理可得变加速阶段的时间，进而可知总时间，总功率比总时间就是汽车在公路上行驶过程中发动机做功的平均功率．

解答：解：
（1）达到最大输出功率时的速度为：
v₁=at=2×5m/s10m/s，
此过程中，有牛顿第二定律：
F-f=ma，

P

F

=v₁，
当牵引力等于阻力时，汽车到达最终的最大速度：

P

f

=v_m，
由以上三式解得：
f=2×10³ N，
则汽车的额定功率为：
P=fv_m=2×10³×20W=4×10⁴W；
（2）在沙地上匀速行驶时，牵引力等于阻力，故：
v_沙=

P

2f

=

4×104

2×2×103

m/s=10m/s；
（3）汽车匀加速行驶的位移为：
s₁=

1

2

at₁²=

1

2

×2×52m=25 m，
变加速行驶的位移为：
s₂=s_总-s₁=200m-25m=175 m，
此过程由动能定理得：
Pt₂-fs₂=

1

2

mvm2-

1

2

mv12，
t解得：
t₂=12.5s，
故汽车在公路上行驶过程中发动机做功的平均功率为：

.

P

=

W总

t总

=

FS1+Pt2

t1+t2

=

2×103×25+4×104×12.5

5+12.5

W=3.43×10⁴W；
答：
（1）汽车的额定功率为4×10⁴W；
（2）汽车在沙地上达到匀速时的速度大小为10m/s；
（3）汽车在公路上行驶过程中发动机做功的平均功率3.43×10⁴W．

点评：掌握机车启动的两种方式：恒定加速度启动和恒定功率启动．要求同学们能对两种启动方式进行动态分析，公式P=Fv，指实际功率，F表示牵引力，v表示瞬时速度．当牵引力等于阻力时，机车达到最大速度vm=

P额

f

．另一个关键点记住在处理变力做功的问题上，动能定理是个很好的选择．