Question

6．汽艇在宽为400m、水流速度为2m/s的河中横渡河面，已知它在静水中的速度为4m/s，求：
（1）汽艇要垂直横渡到达正对岸，船头应取什么航向？
（2）如果要在最短时间内过河，船头应取什么航向？最短时间为多少？
（3）若水流速度为4m/s，船在静水中的速度为2m/s，则船能过河的最短航程是多少？

Answer 1

分析 当合速度的方向与河岸垂直时，汽艇将垂直到达正对岸，根据平行四边形定则得出船头的方向．
当静水速与河岸垂直时，渡河时间最短，根据河岸和静水速求出最短时间．
因为静水速小于水流速，合速度方向不可能垂直于河岸，即不可能垂直渡河，当合速度的方向与静水速的方向垂直时，渡河位移最短．

解答 解：（1）当合速度的方向与河岸垂直时，汽艇将垂直到达正对岸，设船头的方向与河岸的夹角为θ，$cosθ=\frac{{v}_{水}}{{v}_{静}}=\frac{1}{2}$，
解得θ=60°．
（2）当静水速与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间${t}_{min}=\frac{d}{{v}_{静}}=\frac{400}{4}s=100s$．
（3）因为静水速度小于水流速度，则不能垂直渡河，所以当合速度的方向与静水速的方向垂直，渡河位移最短，
设此时合速度的方向与河岸的夹角为α，$sinα=\frac{{v}_{静}}{{v}_{水}}=\frac{1}{2}$，
则最短航程s=$\frac{d}{sinα}=\frac{400}{\frac{1}{2}}m=800m$．
答：（1）汽艇要垂直横渡到达正对岸，船头指向上游，与河岸的夹角为60度．
（2）船头的方向与河岸垂直，最短时间为100s．
（3）最短航程为800m．

点评 解决本题的关键知道合运动与分运动具有等时性，以及知道静水速与河岸垂直时，渡河时间最短．若静水速大于水流速，合速度方向与河岸垂直时，渡河位移最短；若静水速小于水流速，则合速度方向与静水速方向垂直时，渡河位移最短．