Question

20．有一质量很大而体积很小的星球，一个物体从离这个星球距离为r的高度从静止出发自由落向此星球，则物体落到这个星球上经历的时间为$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{{π}^{2}{r}^{3}}{2GM}}$（已知星球的质量为M）

Answer 1

分析 星球很小，可以看作质点，物体仅受星球引力作用下的运动轨道通常有三种可能的情况：（1）沿直线自由下落．（2）圆轨道．（3）椭圆轨道．物体在椭圆轨道上运动时，星球处于椭圆的一个焦点上，物体的运动规律满足开普勒第三定律：$\frac{{T}^{2}}{{R}^{3}}$=$\frac{4{π}^{2}}{GM}$，其中T为物体的公转周期，R为半长轴，M是星球的质量．我们设想一个狭长的椭圆轨道，远地点即为物体开始下落的位置，此椭圆越扁，其两侧就越向物体自由下落的轨道靠拢，极端的情况是：当椭圆的半短轴b=0时，两者就重合了．这样，就可能通过求物体沿上述椭圆轨道对应部分的时间来求物体自由下落的时间．

解答 解：将星球看成质点，设物体下落的时间为t．则物体绕星球公转的周期为2t，椭圆半长轴为$\frac{r}{2}$，由开普勒第三定律$\frac{{T}^{2}}{{R}^{3}}$=$\frac{4{π}^{2}}{GM}$，得：
$\frac{（2t）^{2}}{（\frac{r}{2}）^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}}{GM}$
解得：t=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{{π}^{2}{r}^{3}}{2GM}}$
故答案为：$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{{π}^{2}{r}^{3}}{2GM}}$．

点评 本题中物体的加速度不恒定，直接根据运动学规律不好解，关键要运用极限法，建立物体运动的模型：椭圆运动，星球是椭圆的焦点，运用开普勒第三定律$\frac{{T}^{2}}{{R}^{3}}$=$\frac{4{π}^{2}}{GM}$求解．