Question

18．如图，半径为r=1m，电阻不计的两个半圆形光滑导轨并列竖直放置，在轨道左上方端点M、N间接有“2.5Ω，1.6W”的小灯泡，整个轨道处在磁感应强度为B=1T的竖直向下的匀强磁场中，两导轨间距L=1m、现有一质量为m=0.5kg，电阻为2.5Ω的金属棒ab从M、N处由静止释放，经过一段时间到达导轨的最低点OO′，此时小灯泡恰好正常发光．求：
（1）金属棒ab到达导轨的最低点时导体棒的速度大小；
（2）金属棒ab到达导轨的最低点时对轨道的压力；
（3）金属棒ab从MN到OO′的过程中，小灯泡产生的热量．

Answer 1

分析 （1）ab棒经过最低点时，小灯泡恰好正常发光，功率为额定功率，由P=I²R求出电流，根据闭合电路欧姆定律计算出感应电动势，再根据公式E=BLυ计算出速度．
（2）金属棒ab到达导轨的最低点，由轨道的支持力和重力的合力提供向心力，由牛顿运动定律求．
（3）根据能量守恒定律，金属棒减少的重力势能转换为电路的电能和金属棒的动能，即可求出热量．

解答 解：（1）当金属棒到达导轨的最低点OO′，小灯泡恰好正常发光．此时有通过电路的电流为I：
由P=I²R可得：$I=\sqrt{\frac{P}{R}}=\sqrt{\frac{1.6}{2.5}}=0.8A$
由闭合电路的欧姆定律得：$I=\frac{E}{2R}$
ab切割产生的电动势：E=BLv
代入数据解得：v=4m/s       
（2）金属棒ab到达导轨的最低点，由牛顿第二定律：${F_N}-mg=m\frac{v^2}{r}$
代入数据解得：F_N=13N
根据牛顿第三定律，棒ab到达导轨的最低点时对轨道的压力大小为13N，方向竖直向下．
（3）金属棒ab从M、N到O、O′的过程中，设小灯泡产生的热量为Q，因为金属棒的电阻与小灯泡的电阻相同，所以金属棒产生的热量也为Q，回路产生的热量为2Q．
由能量守恒定律：$mgr=\frac{1}{2}m{v^2}+2Q$
代入数据解得：Q=0.5J                 
答：（1）金属棒ab到达导轨的最低点时导体棒的速度大小是4m/s；
（2）金属棒ab到达导轨的最低点时对轨道的压力大小为13N，方向竖直向下；
（3）金属棒ab从MN到OO′的过程中，小灯泡产生的热量是0.5J．

点评 对于导体棒切割磁感线问题，要熟练掌握电动势公式E=BLυ，会灵活运用闭合电路欧姆定律．热量问题常用能量守恒定律解决．