Question

2．如图，K为一粒子源，可以产生初速度几乎为零的带正电粒子A与B，B粒子的比荷是A粒子比荷的4倍，A、B粒子经过y轴左侧的区域1在U₁=100V的电压加速后，进入y轴右侧并存在有上下边界MN、PQ的区域2（区域2右边界足够长），区域2中可以施加平行xOy平面沿y方向的匀强电场或垂直纸面向里的匀强磁场，电场强度为E=200V/m，磁感应强度为B=0.1T，以区域2入射点作为坐标原点建立直角坐标，如图所示．（粒子重力不计）
（1）若区域2中同时存在电场与磁场，发现A粒子恰好沿直线运动，求A粒子的比荷；
（2）若区域2中保留电场，撤去磁场，求A、B粒子在区域2中运动的时间之比；
（3）若区域2中保留磁场，撤去电场，B粒子经过区域2上方坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，1m）的P点，求磁场边界MN与y轴交点的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先粒子在加速电场中加速，运用动能定理解决，之后接入电磁场区域，速度选择器模型，列平衡方程，洛伦兹力和电场力平衡即可；
（2）两粒子均做类平抛运动，利用运动的合成和分解结合牛顿第二定律解决；
（3）两粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，求出半径公式，结合几何关系即可．

解答 解：
（1）设粒子匀速运动的速度大小为v_A，
        因为粒子做匀速直线运动，根据平衡条件：q_Av_AB=Eq_A
        所以A粒子的速度为v_A=$\frac{E}{B}$=2×10³m/s
        粒子在加速电场中，根据动能定理：q_AU₁=$\frac{1}{2}$m_A${v}_{A}^{2}$
        得$\frac{{q}_{A}}{{m}_{A}}$=2×10⁴C/kg
（2）两粒子均做类平抛运动，设AB两粒子在区域2运动的时间分别为t_A，t_B
        根据类平抛的关系可得：y=$\frac{1}{2}$at²，根据牛顿第二定律得：Eq=ma
        联立得：t=$\sqrt{\frac{2ym}{Eq}}$
        所以t_A：t_B=1：2
（3）由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，得r=$\frac{mv}{qB}$，且知v_B=2v_A，$\frac{{q}_{B}}{{m}_{B}}$=4$\frac{{q}_{A}}{{m}_{A}}$，代入得：半径r_B=0.5m
        设坐标原点为O，B粒子运动圆心为C，设磁场边界在AD线上，交圆弧为B点，
        设弧OB所对圆心角为θ，粒子离开磁场后沿直线BP运动到P点，其中PD垂直于x轴．
        由几何关系可得：PD=BDtanθ
                                  PD=y_P-AO   
                                  AO=r_B（1-cosθ）
                                  BD=x_P-r_Bsinθ
        联立可得：sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，θ=60°
        显然，B点的纵坐标y_B=r_B（1-cosθ）=0.25m
        所以MN边界在y=0.25处，交点坐标为（0，0.25m）
答：（1）若区域2中同时存在电场与磁场，发现A粒子恰好沿直线运动，A粒子的比荷为2×10⁴C/kg；
      （2）若区域2中保留电场，撤去磁场，A、B粒子在区域2中运动的时间之比为1：2；
      （3）若区域2中保留磁场，撤去电场，B粒子经过区域2上方坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，1m）的P点，磁场边界MN与y轴交点的坐标为（0，0.25m）

点评 本题难度不大，考查点包括：速度选择器模型的平衡条件，带电粒子在加速电场和偏转电场中的运动；第三问带电粒子在磁场中的运动，解题关键是要找到几何关系．