Question

7．某中学的排球训练场地为长18.0m，宽9.0m的长方形，场地中央的排球网高约为2.0m，训练中使用的排球质量为0.28kg，取g=10m/s²
（1）若前排运动员跳起来在球网的上边缘沿垂直球网且水平的方向，将二传手传出的排球击中到对方场地的底线，不计排球被击出前的速度极其直径的大小，求运动运击球过程中对排球所做的功．
（2）站位在后排的运动员站在3m线处竖直向上起跳，并在最高点将球沿垂直球网方向水平击出后去，不计排球被击出前的速度极其直径的大小．
①若运动员跳起击球点的高度为2.5m，要想使排球既不触网也不出界，试分析说明击球的速度应满足什么条件
②若击球点的高度小于某个值，那么无论水平击球的速度多大，球不是触网就是出界，试求这个高度．

Answer 1

分析 （1）根据高度求出平抛运动的时间，结合水平位移求出初速度，从而得出击球过程中做功的大小．
（2）要想使排球既不触网也不出界，抓住两个临界情况，即恰好不触网，恰好不越界，结合平抛运动的规律求出初速度的范围．
（3）抓住临界情况，即球恰能擦网而过而不压对方底线边界，结合运动学公式求出高度的大小．

解答 解：（1）排球被击出后做平抛运动，运动的水平位移x=9.0m，下落的高度h=2.0m，
则平抛运动的时间$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×2}{10}}s=\sqrt{0.4}s$，
平抛运动的初速度${v}_{0}=\frac{x}{t}=\frac{9}{\sqrt{0.4}}m/s$，
击球过程中运动员对排球做功W=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}×0.28×\frac{81}{0.4}J=28.35J$．
（2）①运动员将球水平击出后，球做平抛运动，设球刚好擦网而过，水平射程s₁=3m，飞行时间${t}_{1}=\sqrt{\frac{2（{h}_{2}-{h}_{1}）}{g}}=\sqrt{\frac{2（2.5-2）}{10}}s=\frac{1}{\sqrt{10}}$s，
所以击球的最小速度为${v}_{1}=\frac{{s}_{1}}{{t}_{1}}=\frac{3}{\frac{1}{\sqrt{10}}}m/s=3\sqrt{10}m/s$，
设球恰好打在对方底线边界上，则水平射程s₂=3m+9m=12m，此过程中球飞行的时间为
${t}_{2}=\sqrt{\frac{2{h}_{2}}{g}}=\sqrt{\frac{2×2.5}{10}}s=\frac{1}{\sqrt{2}}s$，
所以击球的最大速度${v}_{2}=\frac{{s}_{2}}{{t}_{2}}=\frac{12}{\frac{1}{\sqrt{2}}}m/s=12\sqrt{2}m/s$．
因此欲使球既不触网也不出界，则球的初速度满足$3\sqrt{10}m/s＜{v}_{0}＜12\sqrt{2}m/s$．
②设击球的高度为h₂′时，球恰能擦网而过而不压对方底线边界，则对于球恰能擦网而过的情景有：
${v}_{1}=\frac{{s}_{1}}{{t}_{1}}=\frac{3}{\sqrt{\frac{2（h′-2）}{g}}}$，
而对于球恰能压对方底线边界的情景有：${v}_{2}=\frac{12}{\sqrt{\frac{2h′}{g}}}$，
若击出球的速度v＜v₁，则触网，若v＞v₂，则出界，所以必定存在v₁=v₂时球既不触网又能压对方底线边界有：v₁=v₂，即${{v}_{1}}^{2}={{v}_{2}}^{2}$，
联立上述三个方程可解得h′=2$\frac{2}{15}$m，即当$h′＜2\frac{2}{15}m$时，无论击出球的速度v多大，球不是触网，就是出界．
答：（1）击球过程中对排球所做的功围为28.35J．
（2）欲使球既不触网也不出界，则球的初速度满足$3\sqrt{10}m/s＜{v}_{0}＜12\sqrt{2}m/s$．
当$h′＜2\frac{2}{15}m$时，无论击出球的速度v多大，球不是触网，就是出界．

点评 本题考查平抛运动在生活中应用，要通过分析找出临界条件，由平抛运动的规律即可求解．