Question

17．如图所示，河宽l=100m，流速v₁=5m/s．一只船在河的正中间航行，行至图示位置O，发现下游s=100m处有瀑布．小船相对水的速度v₂至少为多大，才能安全靠岸？

Answer 1

分析 根据两方向的位移大小，来确定实际运动轨迹，再由矢量的平行四边形定则，结合三角函数，即可求解．

解答 解：由题意可知，船的合速度沿着图示，由几何关系可知，当船的速度与合速度垂直时，船划行的速度是最小；
根据合成法则，结合三角函数，可得：$\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}=\frac{s}{\sqrt{{s}^{2}+（\frac{l}{2}）^{2}}}$；
代入数据解得：v₂=v₁$\frac{s}{\sqrt{{s}^{2}+（\frac{l}{2}）^{2}}}$=5×$\frac{100}{\sqrt{10{0}^{2}+5{0}^{2}}}$=$2\sqrt{5}$m/s；
设船的合速度与下游夹角为θ，则有：sinθ=$\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
解得：θ=arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
那么船头指向应偏向上游90°-arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
答：船划行的最小速度v₂最小应为$2\sqrt{5}$m/s，才能安全靠岸．

点评 考查矢量的平行四边形定则的应用，掌握如何求船最小速度的方法，注意几何关系与三角函数的运用是解题的关键．