Question

【题目】静止在水平面上的小车固定在刚性水平轻杆的一端，杆的另一端通过小圆环套在竖直光滑的立柱上。每当小车停止运动时，车上的弹簧枪就会沿垂直于轻杆的水平方向自动发射一粒弹丸，然后自动压缩弹簧并装好一粒弹丸等待下次发射,直至射出所有弹丸。下图为该装置的俯视图。已知未装弹丸的小车质量为M，每粒弹丸的质量为m，每次发射弹丸释放的弹性势能为E，发射过程时间极短；小车运动时受到一个与运动方向相反、大小为小车对地面压力λ倍的作用力；忽略所有摩擦阻力，重力加速度为g。

（1）若小车上只装一粒弹丸，求弹丸被射出时小车的速度大小；

（2）若（1）问中发射弹丸后小车恰能运动一周，求射出弹丸时，杆对小车的拉力大小；

（3）若小车上共装15粒弹丸，轻杆能承受的最大拉力（L为小车做圆周运动的半径），则须满足什么条件轻杆才不会被拉断？小车做圆周运动的总路程的最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）（2）4πMg（3），

【解析】

（1）发射弹丸的过程，遵守动量守恒和机械能守恒mv=MV，

能量守恒：E=

联立解得：

（2）发射弹丸后，小车做圆周运动，圆周半径为 L，

由动能定理得：，

其中x=2πL

弹丸刚被射出时杆受到的拉力

解得：F=4πMg

（3）某次发射后，小车（连同弹簧枪）和车载弹丸的总质量为Mk=km（k从某一较大值开始减小，可取15个值，且k>15）

与上述同理可知：

由此可知，弹丸全部射完，k取最小值M/m时，杆的拉力最大，

若此时还能满足

则杆不会被拉断，解得

与上述同理可知，某次发射后到下一次发射前小车做圆周运动的路程：

由此式可知，每发射一粒弹丸后，小车做圆周运动的路程增大一些，因此要小车做圆周运动的总路程最大，k应该取最小的15个值（对应将15粒弹丸全部射出），

即应取 取k=29、28、……、15，

最大总路程为=