Question

如图所示，固定在地面上的光滑轨道AB、CD，均是半径为R的

1

4

圆弧．一质量为m、上表面长也为R的小车静止在光滑水平面EF上，小车上表面与轨道AB、CD的末端B、C相切．一质量为m的物体（大小不计）从轨道AB的A点由静止下滑，由末端B滑上小车，小车在摩擦力的作用下向右运动．当小车右端与壁CF接触前的瞬间，物体m恰好滑动到小车右端相对于小车静止，同时小车与CF相碰后立即停止运动但不粘连，物体则继续滑上轨道CD．求：
（1）物体滑上轨道CD前的瞬间时速率；
（2）水平面EF的长度；
（3）当物体再从轨道CD滑下并滑上小车后，如果小车与壁BE相碰后速度也立即变为零，最后物体m停在小车上的Q点，则Q点距小车右端多远？

Answer 1

（1）设物体从A滑至B时速率为Vo，根据机械能守恒定律有：mgR=

1

2

mvo2
vo=

2gR

物体与小车相互作用过程中，系统动量守恒，设共同速度为V1，有：mv_o=2mv₁
解得物体滑上轨道CD前的瞬间时速率：v1=

2gR

2

（2）设二者之间的摩擦力为f，根据动能定理有，
对物体有：-fSEF=

1

2

mv12-

1

2

mvo2
对小车有：f(SEF-R)=

1

2

mv12
（或对系统根据能量守恒定律有：fR=

1

2

mvo2-

1

2

2mv12）
得f=

1

2

mg
SEF=

3

2

R
（3）设物体从CD滑下后与小车达到相对静止，共同速度为V₂，相对小车滑行的距离为S₁，小车停后物体做匀减速运动，相对小车滑行距离为S₂，根据动量守恒和能量守恒有：
mv₁=2mv₂
fS1=

1

2

mv12-

1

2

2mv22
对物体根据动能定理有：fS2=

1

2

mv22
解得S1=

1

4

RS2=

1

8

R
则Q点距小车右端距离：S=S1+S2=

3

8

R
答：（1）物体滑上轨道CD前的瞬间时速率v1=

2gR

2

．
（2）水平面EF的长度为

3

2

R．
（3）最后物体m停在小车上的Q点，则Q点距小车右端

3

8

R．