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    （2011·新课标全国卷·T25）如图，在区域I（0≤x≤d）和区域II（d≤x≤2d）内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面。一质量为m、带电荷量q（q＞0）的粒子a于某时刻从y轴上的P点射入区域I，其速度方向沿x轴正向。已知a在离开区域I时，速度方向与x轴正方向的夹角为30°；此时，另一质量和电荷量均与a相同的粒子b也从p点沿x轴正向射入区域I，其速度大小是a的1/3。不计重力和两粒子之间的相互作用力。求

    （1）粒子a射入区域I时速度的大小；

    （2）当a离开区域II时，a、b两粒子的y坐标之差。

     

    【答案】

    （1）（2）（－2）d

    【解析】（1）设粒子a在I内做匀速圆周运动的圆心为C（在y轴上），半径为Ra1，粒子速率为va,运动轨迹与两磁场区域边界的交点为P′，如图，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有，

    qvaB=m               ①

    由几何关系有∠PCP′=θ     ②

    Ra1=                 ③

    式中θ=30°，由上面三式可得

    va=                   ④

    （2）设粒子a在II内做圆周运动的圆心为Oa，半径为Ra2，射出点为Pa（图中未画出轨迹），

    ∠P′OaPa=θ′，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有，

    q va（2B）=m               ⑤

    由①⑤式得Ra2=              ⑥

    C、P′、Oa三点共线，且由⑥式知Oa点必位于

    x=d                       ⑦

    的平面上，由对称性知，Pa点与P′的纵坐标相同，即

    yPa=Ra1cosθ＋h                  ⑧

    式中，h是C点的纵坐标。

    设b在I中运动的轨道半径为Rb1，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有，

    q（）B= （）2           ⑨

    设a到达Pa点时，b位于Pb点，转过的角度为α，如果b没有飞出I，则

    =                        ⑩

    =                   ⑾

    式中，t是a在区域II中运动的时间，而

    Ta2=                       ⑿

    Tb1=                      ⒀

    由⑤⑨⑩⑾⑿⒀式得

    α=30°                           ⒁

    由①③⑨⒁式可见，b没有飞出I。Pb点的y坐标为

    yP2=Rb1（2+cosα）+h                   ⒂

    由①③⑧⑨⒁⒂式及题给条件得，a、b两粒子的y坐标差为

    yP2－yPa=（－2）d

     

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    B周期一定为T

    C速度的最大值一定为v

    D开始振动的方向沿y轴向上或向下取决于它离波源的距离

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    A.0.1s   B.0.25s    C.0.5s    D.1s

     

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