Question

7．如图所示，坐标系xOy在竖直平面内，x轴沿水平方向．x＞0的区域有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B₁；第三象限同时存在着垂直于坐标平面向外的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，磁感应强度大小为B₂，电场强度大小为E．x＞0的区域固定一与x轴成θ=30°角的绝缘细杆．一穿在细杆上的带电小球a沿细杆匀速滑下，从N点恰能沿圆周轨道运动到x轴上的Q点，且速度方向垂直于x轴．已知Q点到坐标原点O的距离为$\frac{3}{2}$l，重力加速度为g，B₁=7E$\sqrt{\frac{1}{10πgl}}$，B₂=E$\sqrt{\frac{5π}{6gl}}$．空气阻力忽略不计，求：
（1）带电小球a的电性及其比荷$\frac{q}{m}$；
（2）带电小球a与绝缘细杆的动摩擦因数μ；
（3）当带电小球a刚离开N点时，从y轴正半轴距原点O为h=$\frac{20πl}{3}$的P点（图中未画出）以某一初速度平抛一个不带电的绝缘小球b，b球刚好运动到x轴与向上运动的a球相碰，则b球的初速度为多大？

Answer 1

分析 （1）粒子在第3象限做匀速圆周运动，重力和电场力平衡，洛伦兹力提供向心力，根据平衡条件求解电场强度；
（2）带电小球在第3象限做匀速圆周运动，画出轨迹，结合几何关系得到半径，然后结合牛顿第二定律求解速度；带电小球a穿在细杆上匀速下滑，受重力、支持力和洛伦兹力，三力平衡，根据共点力平衡条件并结合合成法列式求解；
（3）绝缘小球b做平抛运动，根据平抛运动的分运动公式求解运动到x轴的时间；小球a在第3象限做圆周运动，第2象限做竖直上抛运动，分阶段求解出其经过x轴的时间，然后根据等时性列式．

解答 解：（1）由带电小球在第三象限内做匀速圆周运动可得：带电小球带正电，且mg=qE，
解得：$\frac{q}{m}=\frac{g}{E}$
（2）带电小球从N点运动到Q点的过程中，有：$qv{B_2}=m\frac{v^2}{R}$
由几何关系有：$R+Rsinθ=\frac{3}{2}l$
联解得：$v=\sqrt{\frac{5πgl}{6}}$
带电小球在杆上匀速时，由平衡条件有：mgsinθ=μ（qvB₁-mgcosθ）
解得：$μ=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
（3）带电小球在第三象限内做匀速圆周运动的周期：$T=\frac{2πR}{v}=\sqrt{\frac{24πl}{5g}}$
带电小球第一次在第二象限竖直上下运动的总时间为：${t_0}=\frac{2v}{g}=\sqrt{\frac{10πl}{3g}}$
绝缘小球b平抛运动垤x轴上的时间为：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=2\sqrt{\frac{10πl}{3g}}$
两球相碰有：$t=\frac{T}{3}+n（{t_0}+\frac{T}{2}）$
联解得：n=1
设绝缘小球b平抛的初速度为v₀，则：$\frac{7}{2}l={v_0}t$
解得：${v_0}=\sqrt{\frac{147gl}{160π}}$
答：（1）带电小球a的电性及其比荷$\frac{q}{m}$是$\frac{g}{E}$；
（2）带电小球a与绝缘细杆的动摩擦因数μ是$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
（3）b球的初速度为$\sqrt{\frac{147gl}{160π}}$；

点评 本题多物体、多过程、多规律，是典型的三多问题；关键是明确两个小球的运动规律，然后分阶段根据牛顿第二定律、平衡条件、运动学公式、平抛运动的分运动公式列式求解，较难．