Question

如图所示，A表示地球，它的半径为R，自转角速度为ω₁，表面重力加速度为g，一人造卫星B在赤道平面内绕圆轨道运行，离地面的离度为H，求：
①卫星B的运动角速度ω₂．
②假设卫星B绕行方向与地球的自转方向相同，某时刻地球的同步卫星正好在B的正上方离B最近，那么从这一时刻起，还要最少经过多长时间，B能运动到同步卫星的正下方和同步卫星最近？

Answer 1

分析：（1）卫星B做圆周运动的向心力由A对它的万有引力提供，由万有引力公式及向心力公式列方程即可求出卫星的角速度．
（2）卫星B与同步卫星转过的圆心角之差等于2π弧度时，B能再次运动到同步卫星的正下方和同步卫星最近．

解答：解：（1）设地球A的质量是M，卫星B的质量为m，
卫星B绕地球做圆周运动的半径r=R+H，
卫星B做圆周运动的向心力由A对它的万有引力提供，
由牛顿第二定律可得：G

Mm

(R+H)2

=mω₂²（R+H）①，
地球表面的物体m′受到的重力等于地球对它的万有引力，
即：m′g=G

Mm′

R2

   ②，
由①②解得：ω₂=R

g (R+H)3

   ③；
（2）设经过时间t，B能再次运动到同步卫星的正下方和同步卫星最近，
此时卫星B与同步卫星转过的圆心角之差等于2π弧度，
即：ω₂t-ω₁t=2π   ④，
由③④解得：t=

2π

R g (R+H)3 -ω1

；
答：（1）卫星B的运动角速度ω₂=R

g (R+H)3

．
（2）经过时间

2π

R g (R+H)3 -ω1

B能运动到同步卫星的正下方和同步卫星最近．

点评：知道万有引力提供向心力，熟练应用万有引力公式与向心力公式列方程即可求出卫星的角速度；知道两卫星转过的圆心角之差是2π弧度是正确解答第二问的关键．