Question

9．质量M=1 000kg的汽车通过圆形拱形桥时的速率恒定，拱形桥的半径R=10m．试求：
（1）汽车在最高点对拱形桥的压力为车重的一半时，汽车的速率；
（2）汽车在最高点对拱形桥的压力为零时，汽车的速率．（重力加速度g=10m/s²）．

Answer 1

分析 在拱形桥的最高点，靠重力和支持力的合力提供向心力，结合牛顿第二定律求出最高点汽车的速率．
当汽车对桥顶的压力为零时，靠重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出汽车的速率．

解答 解：（1）根据牛顿第二定律得，$mg-N=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
N=$\frac{1}{2}mg$，
解得$v=\sqrt{\frac{gR}{2}}=\sqrt{\frac{10×10}{2}}m/s=5\sqrt{2}m/s$．
（2）当压力为零时，有：mg=$m\frac{v{′}^{2}}{R}$，
解得$v′=\sqrt{gR}=\sqrt{10×10}m/s=10m/s$．
答：（1）汽车在最高点对拱形桥的压力为车重的一半时，汽车的速率为$5\sqrt{2}m/s$；
（2）汽车在最高点对拱形桥的压力为零时，汽车的速率为10m/s．

点评 解决本题的关键知道汽车在拱桥顶做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，列表达式时，注意合力指向圆心．