Question

天文工作者观测某行星的半径为R₁，自转周期为T₁，它有一颗卫星，轨道半径为R₂，绕行星公转周期为T₂．
则（1）该行星的平均密度为多大？
（2）要在此行星的赤道上发射一颗同步人造卫星，使其轨道在赤道上方，则该人造卫星的轨道半径为多大？

Answer 1

（1）设该行星的质量为M，卫星的质量为m，则对卫星 有：
  G

Mm

R 22

=m(

2π

T2

)2R2 ①
又行星的体积为 V=

4

3

π

R

31

 ②
所以该行星的平均密度为 ρ=

M

V

=

3π R 32

G T 22 R 31

 ③
（2）设该卫星的同步人造卫星的轨道半径为r，有
   G

Mm′

r2

=m′(

2π

T1

)2r ④
所以由①④得，该人造卫星的轨道半径r=

3	T 21 T 22 ?

R．
答：
（1）该行星的平均密度为

3π R 32

G T 22 R 31

（2）要在此行星的赤道上发射一颗同步人造卫星，使其轨道在赤道上方，则该人造卫星的轨道半径为

3	T 21 T 22

?R．