Question

长为6L、质量为6m的匀质绳，置于特制的水平桌面上，绳的一端悬垂于桌边外，另一端系有一个可视为质点的质量为M的木块，如图所示。木块在AB段与桌面无摩擦，在BE段与桌面有摩擦，匀质绳与桌面的摩擦可忽略。初始时刻用手按住木块使其停在A处，绳处于绷紧状态，AB=BC=CD=DE=L，放手后，木块最终停在C处。桌面距地面高度大于6L。

（1）求木块刚滑至B点时的速度v和木块与BE段的动摩擦因数μ；

（2）若木块在BE段与桌面的动摩擦因数变为μ′=，则木块最终停在何处？

（3）是否存在一个μ值，能使木块从A处放手后，最终停在E处，且不再运动？若能，求出该μ值；若不能，简要说明理由。

Answer 1

解：（1）木块从A处释放后滑至B点的过程中，由机械能守恒得

ΔE_ρM=ΔE_μM

即3mgL－2mgL=(M+6m)v²①

则木块滑至B点时的速度v=②

木块从A处滑至C点的过程中，由功能关系得

ΔE_g1=W_f1

即4mg2L－2mgL=μMgL③

由③式得μ=。④

（2）若μ′=＜a，设木块能从B点向右滑动x最终停止，由功能关系得

ΔE_g2=W_f2

即－2mgL=μ′Mg⑤

将μ′=代入⑤式并整理得 2x²－9Lm+10Z²=0

解得x=2L（x=2.5L不合题意，舍去）

即木块将从B点再滑动2L最终停在D处。

（3）不存在符合要求的μ值，即不可能使木块从A处放手后最终停在E处且不再运动。

解法一：这是由于当μ=时，若木块滑至E点，恰好有f=μMg=6mg，此时绳全部悬于桌边外，对木块的拉力恰好也为6mg，而从（2）的结果知，要使木块继续向E点滑行，必须再减小μ值 ，因而木块尚未滑至E点时，木块所受滑动摩擦力已与悬绳拉力相等，此时，再向E点滑行时，悬绳对木块拉力将大于木块受到的滑动摩擦力而使合力向右，木块又重新获得加速度。因此不可能保持静止状态。

解法二：设满足此条件的动摩擦因数为μ″,根据ΔE_g3=W_f3，有：

6mg·3L－2mg·L=Mμ″·mg·3L,可得μ″=,可得μ″=，

因为μ″＞μ′，所以满足此条件的动摩擦因数不存在。