Question

4．AB是竖直平面内的四分之一圆弧轨道，在下端B与水平直轨道相切，如图所示，一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑．已知圆轨道半径为R，小球的质量为m，不计各处摩擦．求：
（1）小球下滑到距水平轨道的高度为$\frac{R}{2}$时速度的大小；
（2）小球经过圆弧轨道与水平轨道相切点（B点）的前、后瞬间，球对轨道的压力之比．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒定律求出小球的速度大小．
（2）由机械能守恒定律求出小球运动到B点的速度；根据牛顿第二定律求出经过B点前瞬间的支持力大小，经过B点后瞬间支持力大小等于重力的大小．即可求解．

解答 解：（1）根据机械能守恒△E_k=△E_p得：
$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mgR
则小球速度大小为：v=$\sqrt{gR}$
（2）根据机械能守恒得：mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²
在到达B点前一瞬间，由牛顿第二定律得：N_B-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
解得：N_B=3mg
在到达B点后一瞬间：N_B′=mg
N_B：N_B′=3：1
由牛顿第三定律可知球对轨道的压力之比为3：1．
答：（1）小球下滑到距水平轨道的高度为$\frac{R}{2}$时速度的大小是$\sqrt{gR}$；
（2）小球经过圆弧轨道与水平轨道相切点（B点）的前、后瞬间，球对轨道的压力之比为3：1．

点评 本题考查了机械能守恒定律的基本运用，以及掌握圆周运动靠径向的合力提供向心力，通过牛顿第二定律求解支持力的大小．