Question

13．如图所示，光滑水平面的左侧固定一挡板，挡板上固定一水平轻弹簧，弹簧处于自然长度，右端放小物块1（不与弹簧连结），依次共有n个质量均为m的小物块（视为质点）静止沿一直线排开，相邻小物块间距离均为d．现用力对物块l做功W将弹簧压缩，撤掉力后物块1向物块2运动，碰撞后粘在一起，又向物块3运动，粘在一起后又向物块4运动，如此进行下去．求：

（1）小物块1离开弹簧时速度V₀；
（2）前面物块与第n个小物块粘在一起时的速度大小V_n；
（3）从物块l离开弹簧，到物块n开始运动经历的总时间．（忽略每次碰撞所用的时间）

Answer 1

分析 （1）小物块1离开弹簧时，弹簧的弹性势能全部转化为小球的动能，据此求出小球的速度；
（2）对n个物块组成的系统，满足动量守恒的条件，根据动量守恒定律列式即可求解；
（3）物体离开弹簧后做匀速直线运动，求出运动到2的时间，根据动量守恒定律求出碰撞后的共同速度，碰撞后仍做匀速直线运动，求出运动到3的时间，据此方法一直求出最后（n-1）个物块向第n 个物块运动需时间，从而求出总时间即可．

解答 解：（1）根据$W=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$得：${v}_{0}=\sqrt{\frac{2W}{m}}$
（2）对n个物块组成的系统，满足动量守恒的条件，得：mV₀=nmVn
物块n 的速度为：${v}_{n}=\frac{1}{n}\sqrt{\frac{2W}{m}}$
（3）从物块l开始运动到和物块2相撞，需时间t_l，则有：t_l=$\frac{d}{{v}_{0}}$
设物块1和2碰撞后具有共同速度v_l，则有：mv₀=（m+m）v₁  
解得：v₁=$\frac{{v}_{0}}{2}$
物块l、2以速度V_l向物块3运动，需时间t₂则有：t₂=$\frac{2d}{{v}_{0}}$
物块l、2与3碰后，共同速度v₂，则有：v₂=$\frac{{v}_{0}}{3}$
物块l、2、3以速度v₂向物块4运动，需时间有：t₃=$\frac{3d}{{v}_{0}}$  
以此类推，最后（n-1）个物块向第n 个物块运动需时间t_n-1，则有：t_n-1=$\frac{（n-1）d}{{v}_{0}}$
从物块1开始运动到物块n开始运动，共需时间：
t=t₁+t₂+…+t_n=$\frac{d}{{v}_{0}}+\frac{2d}{{v}_{0}}+$…+$\frac{（n-1）d}{{v}_{0}}$=$\frac{n（n-1）d}{{2v}_{0}}$=$\frac{n（n-1）d}{2}\sqrt{\frac{m}{2W}}$
答：（1）小物块1离开弹簧时速度为$\sqrt{\frac{2W}{m}}$；
（2）前面物块与第n个小物块粘在一起时的速度大小为$\frac{1}{n}\sqrt{\frac{2W}{m}}$；
（3）从物块l离开弹簧，到物块n开始运动经历的总时间为$\frac{n（n-1）d}{2}\sqrt{\frac{m}{2W}}$．

点评 本题主要考查了动量守恒定律及运动学基本公式的直接应用，知道物块碰撞过程中，系统动量守恒，知道小物块1离开弹簧时，弹簧的弹性势能全部转化为小球的动能，难度适中．