Question

2．如图所示，在磁感强度B=2T的匀强磁场中，有一个半径r=0.5m的金属圆环，圆环所在的平面与磁感线垂直．．OA是一个金属棒，它沿着顺时针方向以恒定的角速度绕圆心O匀速转动，A端始终与圆环相接触，OA棒的电阻R=0.1Ω，图中定值电阻R₁=100Ω，R₂=4.9Ω，电容器C上标有“10V、100pF”．圆环和连接导线的电阻忽略不计
求：（1）要使电路正常，不发生意外，则金属棒转动角速度的值不能超过多少？电容器哪个极板带正电？
（2）金属棒在以最大角速度转动的过程中突然停止不动，则此后通过R₂的电量是多少？
（3）在转动角速度最大的情况下，电路中消耗的电功率是多大？

Answer 1

分析 本题（1）的关键是明确导体棒以一端为轴做旋转切割磁感线运动时感应电动势的求法，为E=$\frac{B{L}^{2}ω}{2}$，然后根据电路图求出总电流和电容器两端的电压即可，再根据右手定则判定电容器两板电势的高低；题（2）中结合电路特点，利用电容器充放电知识求解．（3）的关键是明确电路中消耗的电功率的含义是P_总=EI．

解答 解：（l）画出等效电路图，如图所示，

电路中发生意外的只能是电容器．导体棒OA在转动时产生感应电动势，如果转速太大时，产生的感应电动势较大，电容器两端的电压超过电容器的耐压值就会将电容器击穿．
电容器两端的电压等于电阻R₂两端的电压，此时电源的电动势为E  $\frac{{{U_{R_2}}}}{R_2}=\frac{E}{{R+{R_2}}}$

$E=\frac{{（R+{R_2}）{U_{R_2}}}}{R_2}=\frac{（4.9+0.1）×10}{4.9}=\frac{500}{49}V$
金属棒匀速转动时产生的电动势E$E=BL\overline{v}$，$\overline{v}=\frac{r}{2}ω$，所以：$E=\frac{1}{2}B{r}^{2}ω$，
联立上面各式可得  $ω=\frac{2E}{{B{r^2}}}=\frac{{2×\frac{500}{49}}}{{2×0．{5^2}}}=40.8rad/s$
即金属棒的角速度不能超过40.8rad/s     
根据右手定则，感应电流的方向由O→A，但导体棒切割磁感线相当于电源，在电源内部电流从电势低处流向电势高处．故A点电势高于O点电势．又由于电容器上板与A点相接即为正极，所以电容器的上极板带正电．
（2）当金属棒以最大的角速度转动时，
电容器的带电量为Q=CU=10×100×10^-12=10^-9C
当金属棒停止转动时，电容器相当于电源，电容器放电．
Q₁和Q₂分别表示通过R和R₂的电量，根据并联电路特点得：${Q}_{1}=\frac{{R}_{2}}{R}{Q}_{2}$，又Q₁+Q₂=Q，得；${Q}_{2}=\frac{1}{50}Q=\frac{1}{50}×1{0}^{-9}=2×1{0}^{-11}C$
即通过R₂的电量为2×10^-11C
（3）电路中消耗的电功率${P_消}=\frac{E^2}{{R+{R_2}}}=\frac{{{{（{\frac{500}{49}}）}^2}}}{0.1+4.9}=20.8W$
答：（1）金属棒转动角速度的值不能超过40.8rad/s，电容器上极板带正电．
（2）通过R₂的电量是2×10^-11C；
（3）电路中消耗的电功率是20.8W

点评 熟记导体棒以一端为轴做切割磁感线运动时产生的感应电动势表达式为E=$\frac{B{L}^{2}ω}{2}$，结合电路特点求解即可．