Question

12．两块足够大的平行金属板水平放置，板间加有分布均匀且随时间周期性变化的电场和磁场，变化规律如图甲、乙所示，规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，当t=0时由负极板释放一个初速为零的带负电粒子（不计重力）．已知，电场强度E₀、磁感应强度B₀、粒子的比荷$\frac{q}{m}$，且t₀=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$，两板间距h=$\frac{10{π}^{2}m{E}_{0}}{q{B}_{0}^{2}}$．试求：
（1）粒子在0-t₀时间内位移的大小与极板间距h的比值
（2）粒子在板间做圆周运动的最大半径（用h表示）

Answer 1

分析 （1）此题中电场和磁场不是同时存在的，要分别对小球在电场力和磁场力作用下的运动进行分析，只在电场力作用时，粒子做匀加速直线运动，在只有洛伦兹力作用时，粒子做匀速圆周运动．在0～t₀时间，只有电场力，粒子做匀加速运动，可运用运动学公式和牛顿第二定律进行求解．
（2）最大半径受到两板之间的距离的影响，首先对其运动轨迹进行分析，结合板间距离，可分析出粒子能做几个完整的圆周运动，从而得知做圆周运动的最大半径．

解答 解：（1）设粒子在0～t₀时间内运动的位移大小为s₁．由运动学公式和牛顿第二定律有：
   s₁=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
   a=$\frac{q{E}_{0}}{m}$
又已知  t₀=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$，两板间距h=$\frac{10{π}^{2}m{E}_{0}}{q{B}_{0}^{2}}$．  
联立以上各式解得     $\frac{{s}_{1}}{h}$=$\frac{1}{5}$
（2）粒子在t₀～2t₀时间内只受洛伦兹力．且速度与磁场方向垂直，所以粒子做匀速圆周运动．设运动速率为v₁，轨道半径为R₁，周期为T，则
   v₁=at₀，qv₁B₀=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$
联立以上二式得   R₁=$\frac{h}{5π}$
又  T=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$
即粒子在t₀～2t₀时间内恰好完成一个周期的圆周运动．在2t₀～3t₀时间内，粒子做初速为v₁的匀加速直线运动，设位移大小为s₂
则  s₂=v₁t₀+$\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$
解得   s₂=$\frac{3}{5}$h
由于（s₁+s₂）＜h，所以粒子在3t₀～4t₀时间内继续做匀速圆周运动，
设速率为v₂，半径为R₂．  
则  v₂=v₁+at₀
  qv₂B₀=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$
则 R₂=$\frac{2h}{5π}$
由于（s₁+s₂十R₂）＜h，粒子恰好又完成一个周期的圆周运动．
在4t₀～5t₀时间内，粒子运动到正极板 （如图所示）．
因此，粒子运动的最大半径  R₂=$\frac{2h}{5π}$．
答：
（1）粒子在0-t₀时间内位移的大小与极板间距h的比值是$\frac{1}{5}$．
（2）粒子在板间做圆周运动的最大半径是$\frac{2h}{5π}$．

点评 带电粒子在电场、磁场和重力场等共存的复合场中的运动问题，其受力情况和运动图景都比较复杂，但其本质是力学问题，应按力学的基本思路，分析受力情况和运动情况，运用力学的基本规律研究和解决此类问题．