Question

经过天文望远镜的长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识．双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离．一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理．现根据对某一双星系统的光学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者间相距2L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动．已知引力常量为G，则：
（1）试计算该双星系统的运动周期T；
（2）若实验上观测到运动周期为T′，为了解释两者的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质．作为一种简化的模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着密度为ρ的暗物质，而不考虑其它暗物质的影响，并假定暗物质与星体间的相互作用同样遵守万有引力定律．试根据这一模型计算该双星系统的运动周期T′．

Answer 1

分析：（1）双星绕两者连线的中点做圆周运动，由相互之间万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律求解运动周期．
（2）假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着暗物质，由暗物质对双星的作用与双星之间的万有引力的合力提供双星的向心力，再由牛顿第二定律求解周期T′．

解答：解：
（1）以双星系统中任一星球为研究对象，根据牛顿第二定律得
   G

M2

(2L)2

=M

4π2

T2

L
得到 T=4πL

L GM

（2）设暗物质的总质量为m，由牛顿第二定律得
     G

M2

(2L)2

+G

Mm

L2

=M

4π2L

T′2

又m=ρ?

4

3

πL3
代入解得
    T′=4πL

3L G(3M+16πρL3)

答：（1）该双星系统的运动周期T=4πL

L GM

；
    （2）根据暗物质模型计算出该双星系统的运动周期T′=4πL

3L G(3M+16πρL3)

．

点评：本题是双星问题，要抓住双星系统的条件：角速度与周期相同，运用牛顿第二定律采用隔离法进行研究．