Question

（2007?徐州一模）如图所示，倾角θ=37゜的传送带AB长L=20m，以v=5m/s速度沿顺时针方向匀速转动．质量M=lkg的木块由AB的中点c从静止开始下滑，0.5s后被一颗质量 m=20g的子弹以速度v₀=500m/s沿传送带向上正对射入，子弹穿出时的速度u=200m/s．以后每隔1.5s就有一颗质量和速度相同的子弹射人木块．设子弹射穿木块的时间极短，且每次射人时木块对子弹的阻力相同．已知木块与传送带间的动摩擦因数μ=0.25，sin37゜=0.60，cos37゜=O．80，g取lOm/s²．求：
（1）在被第二颗子弹击中前．木块离传送带下端A点的最大距离；
（2）木块在传送带上最多能被多少颗子弹击中；
（3）在木块从c点开始运动到最终离开传送带的过程中，子弹、木块和传送带这一系统产生的内能．

Answer 1

分析：（1）对滑块受力分析，受重力、支持力和摩擦力，根据牛顿第二定律求解出下滑的加速度，根据运动学公式求解出0.5s时刻的速度和位移；第一颗子弹射出木块过程，子弹与木块系统的内力远大于外力，系统动量守恒；此后做匀减速直线运动到达最高点；
（2）通过计算找出重复过程：每次下滑0.5m后再上滑2m；
（3）产生的内能分为子弹射出木块过程的内能和木块与传送带摩擦的内能，分别根据运动学公式和功能关系列式求解出各段过程的内能后求和．

解答：解：（1）木块沿斜面向下加速滑动，设木块下滑时加速度为a₁．
由牛顿第二定律，有：a1=

Mgsin37°-μMgcos37°

M

=g(sin37°-μcos37°)=4m/s2；
设木块下滑0.5s时速度为v₁，则v₁=a₁t₁=4×0.5=2m/s；
木块下滑的距离S₁=

1

2

a1

t

2 1

=0.5m；
设子弹打击木块后，木块速度v₂，打击时，由动量守恒定律，有：mu-Mv₁=mu′+Mv₂，得
v2=

m(u-u′)-Mv1

M

=4m/s；
木块上滑时加速度为a₂，由于木块速度小于传送带的速度，所以摩擦力的方向沿斜面向上，所以加速度a₂=a_l=4m/s²
术块上滑的最远距离：
S2=

v 2 2

2a2

=2m
在被第二颗子弹击中前，木块沿斜面向上运动离A点的最大距离：
d=

1

2

L-S1+S2=11.5m
（2）木块上滑的时间
t₂=

v2

a2

=1s
因为子弹射入木块的时间间隔△t=1.5s，所以木块上滑2．Om后再下滑，0.5s后子弹又射入木块，以后的运动重复：每次木块上滑2．Om后再下滑O.5m．每次子弹打击后，木块上升1.5m，第6颗子弹穿射木块后，木块共上滑9m，此后距离上端还有1.5m．第7颗子弹射穿木块后，木块沿斜面上滑最后离开斜面，所以木块在斜面上最多能被7颗子弹击中．  
（3）每次子弹穿射木块，产生的内能相同，
E₁=

1

2

M

v

2 1

+

1

2

mu2-

1

2

M

v

2 2

-

1

2

mu′2=2094J；
每次木块下滑0.5m，传送带上升的距离S₁′=vt₁=2.5m
产生的内能E₂=μMgcos37°?（S₁+S₁′）=6J
每次木块上滑2．Om，传送带上升的距离S₂′=vt₂=5m
产的内能E₃=μMg（S₂′-S₂）=6J
第7子弹射穿木块后，术块沿斜面只能上滑S₃=1.5m
设木块上滑的时间为t₃，根据位移时间关系公式，有：S₃=v₂t₃-

1

2

a2

t

2 3

解得t₃=0.5s和l.5s（l.5s舍去，因为滑块不可能返回）
传送带上升的距离S₃′=vt₃=2.5m
此过程产生的内能为：E₄=μMg（S₃′-S₃）=2J
故产生的总的内能：E=7E₁+7E₂+6E₃+E₄=7×2094J+7×6J+6×6J+2J=14738J
答：（1）在被第二颗子弹击中前．木块离传送带下端A点的最大距离为11.5m；
（2）木块在传送带上最多能被7颗子弹击中；
（3）在木块从c点开始运动到最终离开传送带的过程中，子弹、木块和传送带这一系统产生的内能为14738J．

点评：解决本题的关键理清木块的运动过程，结合牛顿第二定律、动量守恒定律、运动学公式和功能关系进行求解，较难．