Question

如图，在区域Ⅰ（0≤x≤d）和区域Ⅱ（d＜x≤2d）内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面。一质量为m、带电荷量q（q＞0）的粒子a于某时刻从y轴上的P点射入区域Ⅰ，其速度方向沿x轴正向。已知a在离开区域Ⅰ时，速度方向与x轴正向的夹角为30°；此时，另一质量和电荷量均与a相同的粒子b也从P点沿x轴正向射入区域Ⅰ，其速度大小是a的1/3，不计重力和两粒子之间的相互作用力，求

（1）粒子a射入区域Ⅰ时速度的大小；

（2）当a离开区域Ⅱ时，a、b两粒子的y坐标之差。

Answer 1

答案：（1）设粒子a在Ⅰ内做匀速圆周运动的圆心为C（在y轴上），半径为R_a1，粒子速率为v_a，运动轨迹与两磁场区域边界的交点为P^/，如图示。由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得

　　　　　　　　　　　①

由几何关系得

       　　　　　　　　　　②

       　　　　　　　　　　③

式中，=30°。由①②③式得

       v_a=　　　　　　　　　　　④

  （2）设粒子a在内做匀速圆周运动的圆心为Oa，半径为Ra2，射出点为Pa（图中未画轨迹），，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得

　　　　　　　　⑤

         由①⑤式得

               　　　　　　　　　　　⑥　

C、P^/和O_a三点共线，且由式知O_a点必位于

                                      ⑦

的平面上。由对称性知，P_a点P/点纵坐标相同，即

                            ⑧

式中，h是C点的y坐标。

设b在Ⅰ中运动的轨道半径为R_b1，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得

              ⑨

设a到达P_a点时，b位于P_b点，转过的角度为。如果b没有飞出Ⅰ，则

                                       ⑩

                                       

式中，t是a在区域Ⅱ中运动的时间，而

                   

                  

由式得

=30°                         

由式可见，b没有飞出Ⅰ。P_b点的y坐标为