Question

（2012?门头沟区一模）我国成功地发射了“嫦娥一号”探月卫星，其轨道示意图如下图所示．卫星进入地球轨道后还需要对卫星进行10次点火控制．第一次点火，抬高近地点，将近地点抬高到约600km，第二、三、四次点火，让卫星不断变轨加速，经过三次累积，卫星加速到11.0km/s的速度进入地月转移轨道向月球飞去．后6次点火的主要作用是修正飞行方向和被月球捕获时的紧急刹车，最终把卫星送入离月面200km高的工作轨道（可视为匀速圆周运动）．已知地球质量是月球质量的81倍，R_月=1800km，R_地=6400km，卫星质量2350kg，地球表面重力加速度g取10m/s²． （涉及开方可估算，结果保留一位有效数字）求：

（1）卫星在绕地球轨道运行时离地面600km时的加速度．
（2）卫星从离开地球轨道进入地月转移轨道最终稳定在离月球表面200km的工作轨道上外力对它做了多少功？（忽略地球自转及月球绕地球公转的影响）

Answer 1

分析：已知地球表面的重力加速度和离地面轨道的高度，根据万有引力产生的加速度可算得地球轨道上的加速度，根据动能定理可求卫星轨道转移过程中外力对卫星所做的功．

解答：解：（1）卫星在离地600km处对卫星加速度为a，由牛顿第二定律
G

mM

(R+h1)2

=ma
又因为在地球表面有G

mM

R2

=mg
可得a=

R2

(R+h1)2

g≈8m/s²
（2）卫星离月面200km速度为v，由牛顿第二定律得：
G

M月m

(r+h2)2

=m

v2

(r+h2)

得：v=

GM月 r+h2

由G

mM

R2

=mg
又因为地球质量M=81M_月
所以G=

gR2

81M月

代入数据可得 v=

GM月 r+h2

得：V²=2.53×10⁶km²/s²
由动能定理，外力对卫星做功
W=

1

2

mv²-

1

2

mv₀²=

1

2

×2350×（253×10⁴-11000²）=-1×10¹¹J
答：（1）卫星在绕地球轨道运行时离地面600km时的加速度8m/s²．
（2）卫星从离开地球轨道进入地月转移轨道最终稳定在离月球表面200km的工作轨道上外力对它做了-1×10¹¹J的功．

点评：抓住解题的关键，（1）地球表面万有引力等于重力，（2）万有引力提供卫星绕地球圆周运动的向心力．外力对外星做的功等于卫星轨道转移过程中的动能的变化．