Question

如图所示，宽度为L的平行光滑的金属轨道，左端为半径为r₁的四分之一圆弧轨道，右端为半径为r₂的半圆轨道，中部为与它们相切的水平轨道．水平轨道所在的区域有磁感应强度为B的竖直向上的匀强磁场．一根质量为m的金属杆a置于水平轨道上，另一根质量为M的金属杆b由静止开始自左端轨道最高点滑下，当b滑入水平轨道某位置时，a就滑上了右端半圆轨道最高点（b始终运动且a、b未相撞），并且a在最高点对轨道的压力大小为mg，此过程中通过a的电荷量为q，a、b棒的电阻分别为R₁、R₂，其余部分电阻不计．在b由静止释放到a运动到右端半圆轨道最高点过程中，求：
（1）在水平轨道上运动时b的最大加速度是多大？
（2）自b释放到a到达右端半圆轨道最高点过程中系统产生的焦耳热是多少？
（3）a刚到达右端半圆轨道最低点时b的速度是多大？

Answer 1

分析：（1）b棒从左侧轨道下滑的过程中，只有重力做功，其机械能守恒，求出b进入刚进入水平轨道时的速度大小．进入水平轨道后b棒切割磁感线产生感应电流，a棒由于受到安培力作用向右运动，回路中产生的感应电动势将要减小，感应电流也减小，则知b棒的加速度减小，则b棒刚进入磁场时加速度最大，由牛顿第二定律和安培力公式结合求解．
（2）此过程中通过a的电荷量为q，根据动量定理求出b棒后来的速度．对a棒：由牛顿运动定律求出通过最高点时的速度，由机械能守恒定律求出离开磁场时的速度．由能量守恒定律即可求解系统产生的焦耳热．
（3）当两棒都在水平轨道上运动时，两棒组成的系统合外力为零，动量守恒，可求出a刚到达右端半圆轨道最低点时b的速度．

解答：解：（1）b棒从左侧轨道下滑的过程，由机械能守恒定律：

1

2

M

v

2 b1

=Mgr1
∴vb1=

2gr1

b刚滑到水平轨道时加速度最大，
由E=BLv_b1，I=

E

R1+R2

，F_安=BIL=Ma得
∴a=

B2L2 2gr1

M(R1+R2)

（2）根据动量定理得-BILt=Mv_b2-Mv_b1           
又It=q，即-BLq=Mv_b2-Mv_b1
∴vb2=

2gr1

-

BLq

M

对a棒，在根据牛顿第三定律得：N=N′=mg
在轨道最高点：mg+N=m

v 2 a1

r2

∴va1=

2gr2

根据能量守恒定律得：
Mgr1=

1

2

M

v

2 b2

+

1

2

m

v

2 a1

+mg2r2+Q
得Q=

2gr1

BLq-3mgr2-

B2L2q2

2M

（3）∵2mgr2=

1

2

m

v

2 a2

-

1

2

m

v

2 a1

∴va2=

6gr2

当两棒都在水平轨道上运动时，两棒组成的系统合外力为零，动量守恒，则有
  Mv_b1=Mv_b3+mv_a2
∴vb3=

2gr1

-

m

M

6gr2

答：
（1）在水平轨道上运动时b的最大加速度是

B2L2 2gr1

M(R1+R2)

．
（2）自b释放到a到达右端半圆轨道最高点过程中系统产生的焦耳热是

2gr1

BLq-3mgr₂-

B2L2q2

2M

．
（3）a刚到达右端半圆轨道最低点时b的速度是

2gr1

-

m

M

6gr2

．

点评：本题是“双杆”类型，两棒都在水平轨道上运动的过程类似于碰撞，基本规律是动量守恒和能量守恒，本题综合性较强．