Question

18．如图所示，两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A，B运动的线速度大小分别为v₁和v₂，星球B与O点之间的距离为L，已知A，B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常数为G，求：
（1）两星球做圆周运动的周期
（2）星球A，B的总质量．

Answer 1

分析 该题属于双星问题，它们之间的万有引力提供向心力，它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离．代入公式即可解答

解答 解：（1）A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期，根据周期和线速度的关系得：$T=\frac{2πL}{{v}_{2}}$，
（2）设A到O的距离为R，根据v₁=ωR，v₂=ωL，解得：$R=\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}L$
根据万有引力提供向心力得：
对A星球，$G\frac{{m}_{A}{m}_{B}}{（R+L）^{2}}={m}_{A}\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
对B星球，$G\frac{{m}_{A}{m}_{B}}{{（R+L）}^{2}}={m}_{B}\frac{{{v}_{2}}^{2}}{L}$
解得：m_A+m_B=$\frac{{v}_{1}{v}_{2}（\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}+1）^{2}L+{{v}_{2}}^{2}（\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}+1）^{2}L}{G}$
答：（1）两星球做圆周运动的周期为$\frac{2πL}{{v}_{2}}$；
（2）星球A，B的总质量为$\frac{{v}_{1}{v}_{2}{（\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}+1）}^{2}L+{{v}_{2}}^{2}{（\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}+1）}^{2}L}{G}$．

点评 该题属于双星问题，有两星球之间的万有引力提供向心力，知道两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离，不能把它们的距离当成轨道半径．