Question

7．随着汽车工业的发展和轿车进入千家万户，汽车的行驶安全已引起人们的广泛关注．汽车在弯道上转弯时若不注意控制好车速，很容易造成侧滑或侧翻而酿成交通事故．
（1）若汽车在水平路面上沿半径为R₁=144m的弯道行驶，路面作用于汽车的最大侧向静摩擦力是车重的μ=0.4倍，要使汽车不侧滑，则车速最大值v₁为多少？重力加速度g取10m/s²．
（2）为有效防止侧滑或侧翻，在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面稍低一些（路面与水平面的夹角θ很小）．若弯道为半径R₂=1200m的一段圆弧，路面宽度L=15米．当车速v₂为72km/h时要使车轮与路面之间恰无侧向摩擦力，则道路外沿比内沿高h为多少？同样，路面作用于汽车的最大侧向静摩擦力是车重的μ=0.4倍，估算此段弯道汽车行驶的安全速度v_m为多少？（提示：当θ很小时，cosθ≈1，tanθ≈sinθ）

Answer 1

分析 （1）当车以最大的速度v₁转弯时，最大侧向静摩擦力提供向心力，根据向心力公式求解；
（2）设道路外沿比内沿高h，此时汽车v₂的速度通过弯道时，重力和支持力的合力提供向心力，根据向心力公式求解，在此路面上汽车以最大速度v_m转弯时，摩擦力达到最大静摩擦力，根据水平方向合力提供向心力求解最大速度．

解答 解：（1）当车以最大的速度v₁转弯时，最大侧向静摩擦力提供向心力：f_m=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$
且f_m=0.4mg，代入数据得v₁=24m/s                        
（2）设道路外沿比内沿高h，路面与水平面的夹角为θ，此时汽车v₂的速度通过弯道时，重力和支持力的合力在水平方向上，用来提供向心力：mgtanθ=m$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{R}_{2}}$
72km/h=20m/s，
因为θ很小，tanθ≈sinθ，即tanθ≈sinθ=$\frac{h}{l}$                   
代入数据得h=0.5m                                          
在此路面上汽车以最大速度v_m转弯时，f_mcosθ+mgtanθ=m$\frac{{{v}_{m}}^{2}}{{R}_{2}}$         
当θ很小时，cosθ≈1，tanθ≈sinθ，代入数据得：
v_m=$20\sqrt{13}$m/s≈72m/s=260 km/h                      
答：（1）要使汽车不侧滑，则车速最大值v₁为24m/s．
（2）当车速v₂为72km/h时要使车轮与路面之间恰无侧向摩擦力，则道路外沿比内沿高h为0.5m，同样，路面作用于汽车的最大侧向静摩擦力是车重的μ=0.4倍，估算此段弯道汽车行驶的安全速度v_m为260km/h．

点评 解决本题的关键知道汽车拐弯向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，难度适中．