Question

如图所示，可视为质点、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列有关说法中正确的是（　　）

• A．小球通过最高点的最小速度为

  gR

• B．小球通过最高点的最小速度为0
• C．如果小球在最高点时的速度大小为2

  gR

  ，则此时小球给管道壁有坚直向下作用力
• D．如果小球在最低点时的速度大小为

  5gR

  ，则此时小球给管道间的压力大小为6mg

Answer 1

分析：圆形管道内能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0．小球在最高点时的速度大小为2

gR

时，由牛顿第二定律求出小球受到的管道的作用力大小和方向，再由牛顿第三定律分析小球对管道的作用力．在最低点时的速度大小为

5gR

时，同样根据牛顿第二定律求出小球受到的管道的作用力大小和方向．

解答：解：A、B、圆形管道内能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0，故A错误，B正确；
C、设管道对小球的弹力大小为F，方向竖直向下．由牛顿第二定律得
mg+F=m

v2

R

，v=2

gR

，代入解得F=3mg＞0，方向竖直向下．
根据牛顿第三定律得知：小球对管道的弹力方向竖直向上，即小球对管道的外壁有作用力．
故C错误；
D、重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：N-mg=m

v2

R

，
解得：N=mg+m

v2

r

=mg+m

5gR

R

=6mg；
根据牛顿第三定律，球对管道的压力大小为6mg；
故D正确；
故选BD．

点评：本题中圆管模型与轻杆模型相似，抓住两个临界条件：一是小球恰好到达最高点时，速度为零；二是小球经过最高点与管道恰好无作用力时速度为

gR

．