Question

如图所示,不可伸长的绝缘轻绳长为R,一端系于O点,另一端系一质量为m、电量为+q的点电荷，点电荷可在xoy平面内绕O点做半径为R的圆周运动，如图甲所示，本题计算中忽略点电荷的重力。⑴当点电荷以速率v₀沿y方向通过A（R，0）点的瞬间，在空间中加沿x轴正方向的匀强电场E₀，要使点电荷能做完整的圆周运动，电场强度E₀需满足何条件？⑵在⑴问中，其他条件不变，将空间中的电场用垂直于xoy平面向里的匀强磁场B₀需满足何条件？⑶变化的磁场周围激发感生电场，若上述磁场随时间均匀，会在点电荷运动的圆形轨道上产生一个环形电场，其电场线是闭合的，各点场强大小相等。现在空间加一垂直xoy平面向里的匀强磁场，其磁感强度B变化情况如图乙所示，t＝0时刻点电荷的速率为v₀，轻绳一直处于伸直状态。试求0～T时间内，轨道中形成的感生电场E_感的大小，并在图丙中作出点电荷在0～5T时间内v～t图象，要求写出主要的分析过程。

Answer 1

⑴E₀≤ ⑵B₀≤ ⑶E_感=

⑴点电荷运动到最左端时绳子张力最小，设此时速度大小为 v,由动能定理有

—qE₀×2R=     ①    
点电荷在最左端：qE₀+F=        ②
当F≥0时，解得：E₀≤
⑵磁场垂直纸面向内，对点电荷产生的洛伦兹力始终指向圆心，对任一点有：
Bqv₀+F^’=  得F^’=—Bqv₀  当F^’≥0时，解得：B₀≤
⑶0到T：E=, 产生的感生电场E_感=
①0到T内：磁感强度均匀增加，产生的感生电场大小一定，点电荷在圆形轨道上做匀加速圆周运动，加速度
a=   
经时间T后，速度大小为v₁=v₀+aT=v₀+
②T到2T内：磁感强度不变，产生的感生电场为0，点电荷在圆形轨道上做匀速圆周运动，速度v₁不变。
③2T到4T内：磁感强度均匀减小，产生的感生电场大小一定，点电荷在圆形轨道上做匀减速圆周运动，
  
经过2T，v₂=v₁—a^’2T=V₀+—= V₀
④4T到5T内：磁感强度不变，产生的感生电场为0，点电荷在圆形轨道上做匀速圆周运动，速度v₀不变。
V—t图象如图所示。