Question

（2010?济南一模）如图所示，某货场利用固定于地面的、半径R=1.8m的四分之一圆轨道将质量为m₁=10kg的货物（可视为质点）从高处运送至地面，已知当货物由轨道顶端无初速滑下时，到达轨道底端的速度为5m/s．为避免货物与地面发生撞击，在地面上紧靠轨道依次排放两块完全相同的木板A、B，长度均为l=2m，质量均为m₂=20kg，木板上表面与轨道末端相切．货物与木板间的动摩擦因数为μ=0.4，木板与地面间的动摩擦因数μ₂=0.1．（最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取g=10m/s²）
（1）求货物沿圆轨道下滑过程中克服摩擦力做的功
（2）通过计算判断货物是否会从木板B的右端滑落？若能，求货物滑离木板B右端时的速度；若不能，求货物最终停在B板上的位置．

Answer 1

分析：（1）设货物沿圆轨道下滑过程中克服摩擦力做的功为W_f，对货物，由动能定理列式即可求解；
（2）先根据摩擦力的大小判断货物滑上木板A时AB的运动状态，再由动能定理列式求解滑到A末端的速度，再判断滑上B时B的运动状态，设货物不会从木板B的右端滑落，二者刚好相对静止时的速度为v₂，根据运动学基本公式即可判断求解．

解答：解：（1）设货物沿圆轨道下滑过程中克服摩擦力做的功为W_f，对货物，
由动能定理得：
m1gR-Wf=

1

2

m1v2
Wf=m1gR-

1

2

m1v2=55J
（2）当货物滑上木板A时，货物对木板的摩擦力f₁=μ₁m₁g=40N
地面对木板A、B的最大静摩擦力f₂=μ₂（2m₂+m₁）g=50N
由于f₁＜f₂，
此时木板A、B静止不动．       
设货物滑到木板A右端时速度为v₁，由动能定理：-μ1m1gl=

1

2

m1

v

2 1

-

1

2

m1v2
得：v₁=3m/s
当货物滑上木板B时，地面对木板A、B最大静摩擦力f₃=μ₂（m₂+m₁）g=30N
由于f₁＞f₃，此时木反B开始滑动．     
设货物不会从木板B的右端滑落，二者刚好相对静止时的速度为v₂．
则对货物：a1=μ1g=4m/s2
v₂=v₁-a₁t
对木板B：a2=

μ1m1g-μ2(m1+m2)g

m2

=0.5m/s2
v₂=a₂t
由以上两式可得：v2=

1

3

m/s
t=

2

3

s
此过程中，s1=

1

2

(v1+v2)t=

10

9

ms2=

1

2

v2t=

1

9

m
由于s₁-s₂=1.0m＜l，所以货物最终未从木板B上滑了，且与其右端的距离为1.0m
答：（1）货物沿圆轨道下滑过程中克服摩擦力做的功为55J；
（2）货物最终未从木板B上滑了，且与其右端的距离为1.0m

点评：本题考查了动能定理、运动学基本公式和牛顿运动定律的应用，特别需要注意的是货物在水平面上运动时木板的运动状态，由于是两块木板，所以货物运到到不同的地方时木板的受力不一样．