Question

8．A、B两辆汽车，在同一条直线上同向匀速行驶，A车在前，其速度v_A=10m/s，B车在后，其速度v_B=20m/s．当两车相距x₀=10m时，
（1）如果两车都以加速度a=2.5m/s²同时加速．加速后多长时间B车能追上A车？
（2）如果B车以加速度a=2.5m/s²刹车，A车仍按原速率匀速行驶，两车是否会相撞？若能，请求出相撞所用时间；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据位移时间关系式表示出A、B两车运动的位移，当B车追上A车时，根据x_B=x₀+x_A求出加速后B车能追上A车的时间；
（2）根据两车速度相等求出所用的时间，再根据位移公式求出两车运动的位移，进而可以判断两车是否会相撞；
若两车能相撞，根据两车的位移相等求出相撞所用时间．

解答 解：（1）设加速后B车能追上A车的时间为t，
A车运动的位移：x_A=v_At+$\frac{1}{2}$at²，
B车运动的位移：x_B=v_Bt+$\frac{1}{2}$at²，
当B车追上A车时，则有：x_B=x₀+x_A，
即：v_Bt+$\frac{1}{2}$at²=x₀+v_At+$\frac{1}{2}$at²，
代入数据可解得：t=1s．
（2）设A、B两辆汽车的速度相等所用的时间为t′，
则有：v_B-at′=v_A，
解得：t′=$\frac{{v}_{B}-{v}_{A}}{a}$=$\frac{20-10}{2.5}$s=4s，
此时A车运动的位移：
${x}_{A}^{′}$=v_At′=10m/s×4s=40m，
B车运动的位移：
${x}_{B}^{′}$=v_Bt′-$\frac{1}{2}$at^′2=20m/s×4s-$\frac{1}{2}$×2.5m/s²×（4s）²=60m，
因为${x}_{B}^{′}$＞x₀+${x}_{A}^{′}$，所以两车会相撞，
当A、B两辆汽车相撞时，则有：x_B″=x₀+x_A″，
即v_Bt″+$\frac{1}{2}$at″²=x₀+v_At″+$\frac{1}{2}$at^″2，
代入数据可解得：t″=（4±2$\sqrt{2}$）s，
因为t″=（4+2$\sqrt{2}$）s＞4s，所以应舍去，
故两车相撞所用的时间t″=（4-2$\sqrt{2}$）s．
答：（1）加速后1sB车能追上A车；
（2）两车会相撞；相撞所用时间为（4-2$\sqrt{2}$）s．

点评 本题是追击问题，要注意当两车速度相等时不会相撞，以后就不会相撞了，这是经常用到临界条件，根据位移和时间关系再进行求解即可．