Question

如图甲所示，水平放置的两平行金属板的板长l不超过0.2m，OO′为两金属板的中线．在金属板的右侧有一区域足够大的匀强磁场，其竖直左边界MN与OO′垂直，磁感应强度的大小B=0.010T，方向垂直于纸面向里．两金属板间的电压U随时间t变化的规律如图乙所示，现有带正电的粒子连续不断地以速度v₀=1×10⁵m/s，沿两金属板的中线射入电场中．已知带电粒子的荷质比

q

m

=1×108C/kg，粒子所受重力和粒子间的库仑力忽略不计，不考虑粒子高速运动的相对论效应．在每个粒子通过电场区域的时间内可以认为两金属板间的电场强度是不变的．
（1）在t=0.1s时刻射入电场的带电粒子恰能从平行金属板边缘射出，求该粒子射出电场时速度的大小；
（2）对于所有经过电场射入磁场的带电粒子，设其射入磁场和射出磁场两点间的距离为d，请你证明d是一个不变量．
（3）请你通过必要的计算说明：为什么在每个粒子通过电场区域的时间内，可以认为两金属板间的电场强度是不变的．

Answer 1

分析：（1）在t=0.1s时刻，两金属板间的电压U=100V，电场力做功W=q?

1

2

U，根据动能定理求解粒子射出电场时速度的大小；
（2）根据运动的分解得粒子射出电场时速度与初速度的关系式．粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，由牛顿定律求出半径，由几何关系证明d是不变量．
（3）粒子在电场中水平方向做匀速直线运动，由板长与初速度求出运动时间，与周期进行比较，说明两金属板间的电场强度是不变的．

解答：解：
（1）在t=0.1s时刻，两金属板间的电压U=100V，设粒子射出电场时的速度大小为v₁，根据动能定理有
     q?

1

2

U=

1

2

mv12-

1

2

mv02
解得      v₁≈1.4×10⁵m/s                       
（2）带电粒子射入磁场后的轨迹如右图所示．设粒子射入磁场时的速度为v₂，v₂与v₀的夹角为θ，则v2=

v0

cosθ

    ①
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，根据牛顿第二定律有
      qv2B=

m v 2 2

R

②
由①②式可求得R=

mv0

qBcosθ

则由几何关系可求得d=2Rcosθ=

2mv0

qB

因为

m

q

、v₀、B均为常量，所以d是一个不变量．      
（3）带电粒子在金属板间的运动时间t=

l

v0

≤2×10^-6s
设金属板间电压的变化周期为T，T=0.2s，t＜＜T
所以在每个粒子通过电场区域的时间内可以认为两极板间的电压是不变的，若两极板间的距离为L，两金属板间的电场强度E=

U

L

因为U、L均不变，所以可以认为电场强度是不变的． 
答：（1）粒子射出电场时速度的大小是1.4×10⁵m/s；
    （2）d是一个不变量，证明见上．
    （3）证明见上．

点评：本题是组合场问题，综合应用动能定理、牛顿运动定律、运动学知识以及几何知识，中等难度．